【优化探究】2017届高考数学一轮复习第六章第七节数学归纳法课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－命题成立．由(1)，(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝f(n)＝(1)计算f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．证明：(1)由已知f(1)＝S2＝1＋＝，f(2)＝S4－S1＝＋＋＝，f(3)＝S6－S2＝＋＋＋＝；(2)由(1)知f(1)>1，f(2)>1；下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f(n)<1.①由(1)知当n＝3时，f(n)<1；②假设n＝k(k≥3)时，f(k)<1，即f(k)＝＋＋…＋<1，那么f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＝＋＋－<1＋＋＝1＋＋＝1－－<1，所以当n＝k＋1时，f(n)<1也成立．由①和②知，当n≥3时，f(n)<1.所以当n＝1和n＝2时，f(n)>1；当n≥3时，f(n)<1.3．(2015·安庆模拟)已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求证：对任意n∈N*，an>2；(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由；(3)设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝3时，Sn<2n＋.解：(1)证明：用数学归纳法证明an>2(n∈N*)；①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立；②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，则n＝k＋1时，ak＋1＝>＝2，所以n＝k＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有an>2成立．(2){an}是单调递减的数列．因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an>2，所以a－a<0，所以an＋1
2(n∈N*)，所以＝<，所以an＋1－2<(an－2)<2·(an－1－2)<…0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式＝都成立．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋，故2f1＋f2＝－1.(2)证明：由已知，得xf0(x)＝sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cosx，即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sin，类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sin，4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．①当n＝1时，由上可知等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，′＝cos·′＝sin，所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.因此当n＝k＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)所以＝(n∈N*)．2．(2014·高考安徽卷)设实数c>0，整数p>1，n∈N*.(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.(2)数列{an}满足a1>c，an＋1＝an＋a.证明：an>an＋1>c.证明：(1)用数学归纳法证明：①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．(2)先用数学归纳法证明an>c.①当n＝1时，由题设a1>c知an>c成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.当n＝k＋1时，＝＋a＝1＋.由ak>c>0得－1<－<<0.由(1)中的结论得p＝p>1＋p·＝.因此a>c，即ak＋1>c.所以n＝k＋1时，不等式an>c也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．再由＝1＋可得<1，即an＋1an＋1>c，n∈N*.
