1.4.3正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）课后集训基础达标1.函数f(x)=sin(2x+)的奇偶性为（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析：∵f(x)=sin(2x++π)=-sin(+2x)=-cos2x由于y=-cos2x是偶函数.∴f(x)=sin(2x+)为偶函数.故选B.答案：B2.下列命题中正确的个数是（）①y=sinx的递增区间是［2kπ,2kπ+］(k∈Z)②y=sinx在第一象限是增函数③y=sinx在［-，］上是增函数A.1个B.2个C.3个D.0个解析：①y=sinx的递增区间是［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.②函数的单调性是相对于某一区间来说，与所在象限无关.③正确，故选A.答案：A3.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的值为()A.y=3,x=B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z)D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)解析：要求y=2-sinx的最大值,sinx取最小值.答案：C4.下列不等式中成立的是（）A.sin()＜sin()B.sin()＜sin()C.sin3＞sin2D.sinπ＞sin(π)解析：∵-＜＜＜0，且y=sinx在（-，0）上是增函数，∴sin()＜sin().答案：A5.下列函数，在［，π］上是增函数的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x解析：①将x=与x=π代入可得；②结合图象求解；③结合正、余弦函数的单调性求解.答案：D6.使函数y=sin(2x+φ)为奇函数的φ值可以是（）A.B.C.πD.解析：代入验证法，当φ=π时，y=sin(2x+π)=-sin2x为奇函数.答案：C综合运用7.函数y=的定义域是（）A.［-3，0）B.（0，3］C.［-3，3］D.（2kπ,2kπ+π）(k∈Z)解析：函数的定义域由下列不等式组解得：0＜x≤3.答案：B8.函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈［,］的最小值是（）A.B.C.0D.解析：y=3(cos2x-cosx+)+1-=3(cosx-)2-.∵x∈［,］,∴cosx∈［-,］,当cosx=时，y取到最小值且y最小=3（）2-=.答案：D9.设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是______________.答案：，，…，π,k∈Z中的一个拓展探究10.已知函数f(x)=sin2x+acosx+在x∈［0,］上的最大值为1，求实数a的值.解析：本题通过换元转化为二次函数问题.但对称轴变化，区间给定，故需要对a进行分类讨论.解：设cosx=t,则f(x)=1-cos2x+acosx+a-=-(t-)2+.∴0≤x≤,∴0≤cosx≤1，即t∈［0,1］.(1)当0≤a≤2时，则t=时，f(x)max=,令=1,得a=.(a=-4舍去).（2）当a＜0时，当t=0时，f(x)max=,令=1得a=＞0(舍去).(3)当a＞2时，则t=1时，f(x)max=a+=1,所以a=＜2(舍去).综上可知a=.备选习题11.函数y=sinx+|sinx|的最大值是__________，最小值是__________.解析：y=或者结合函数的图象求解.答案：2012.下列命题:①点（kπ,0）是正弦曲线的对称中心（k∈Z）；②点（0，0）是余弦曲线y=cosx的一个对称中心；③把余弦函数y=cosx的图象向左平移个单位，即得y=sinx的图象;④在余弦曲线y=cosx中，最高点与它相邻的最低点的水平距离是2π；⑤在正弦曲线y=sinx中，相邻两个最高点的水平距离是2π；其中正确命题的序号是__________________.解析：②错,是因为y=cosx的对称中心是（kπ+,0）k∈Z;③错，是由于得到的是y=-sinx;④错，是由于所得水平距离为π;①⑤正确可由正弦函数的性质得到.答案：①⑤13.判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx);(2)f(x)=x·cosx2.解：(1)先求定义域：-1＜sinx＜1,∴x≠kπ+,k∈Z,定义域关于原点对称.∵f(-x)=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-［lg(1-sinx)-lg(1+sinx)］=-f(x).∴原函数为奇函数.(2)f(-x)=-x·cos(-x2)=-x·cosx2=-f(x),∴原函数是奇函数.14.求下列函数的单调区间.（1）y=sin(3x-);(2)y=cos(-2x+).解：(1)令3x-=u,y=sinu的单调增区间为［2kπ-,2kπ+］,(k∈Z).即2kπ-≤3x-≤2kπ+.∴原函数单调增区间为［］(k∈Z).又y=sinu的单调减区间为［2kπ+,2kπ+］,(k∈Z),即2kπ+≤3x-≤2kπ+,∴原函数的单调减区间为［］(k∈Z).(2)∵y=cos(-2x+)=cos(2x-),令2x-=u,y=cosu的单调增区间为［2kπ-π,2kπ］,(k∈Z)即2kπ-π≤2x-≤2kπ,解得：kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).∴原函数的增区间为：［kπ-,kπ+］,k∈Z.∵y=cosu的单调减区间为［2kπ,2kπ+π］,k∈Z.即：2kπ≤2x-≤2kπ+π,解得:kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.∴原函数的减区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.15.求下列函数的定义域:（1）y=;(2)y=+lg(2sinx-1)的定义域.解：（1）要使y=有意义，须有sin(cosx)≥0，又因-1≤cosx≤1,必有0≤cosx≤1，由下图甲可知：2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.图甲所以原函数的定义域为：{x|-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.(2)要使函数有意义，只要即由图乙可得：图乙cosx≤的解集为{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.sin＞的解集为{x|+2kπ＜x＜+2kπ,k∈Z}.它们的交集{x|+2kπ≤x＜+2kπ,k∈Z}即为函数的定义域.
