等比数列1．下列四个结论中，正确的个数是()①等比数列{an}的公比q>0且q≠1，则{an}是递增数列；②等差数列不是递增数列就是递减数列；③{an}是递增数列，{bn}是递减数列，则{an－bn}是递增数列；④{an}是递增的等差数列，则{2an}是递增的等比数列．A．1B．2C．3D．42．等比数列{an}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5等于()A．27B．27或－27C．81D．81或－813．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝4a，a2＝2，则a1＝()A．1B.C．2D.4．各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝27＋，则通项公式an＝________.5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．66．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为()A．4B．2C．－2D．－47．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()A.或B.或C.D.8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋19．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为()A．2B．3C.D．410．设项数为10的等比数列的中间两项与2x2＋9x＋6＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________．11．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．12．在等比数列{an}中，存在正整数m，使得am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝________.13．若数列{an}满足＋＝k(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1＝1，a2＝2，则a2012＝________.14．(10分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.15．(13分)已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.(1)求数列{an}的通项公式；1(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．16．(12分)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较＋＋…＋与的大小．2答案解析【基础热身】1．B[解析]对于①，不一定为递增数列，还可能为递减数列；对于②，常数列也是等差数列；对于③，按照函数的单调性考虑，知结论正确；对于④，依据指数函数的性质知，结论正确．故选B.2．B[解析]a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝q2＝9，所以q＝±3，所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝±27，故选B.3．A[解析]设{an}的公比为q，则有a1q2·a1q6＝4aq6，解得q＝2(舍去q＝－2)，所以由a2＝a1q＝2，得a1＝1.故选A.4．3n－1[解析]由已知等式可得a2a3＝27，设等比数列的公比为q，则有aq3＝27，所以q＝3，通项公式为an＝3n－1.【能力提升】5．B[解析]将已知两等式相减得3a3＝a4－a3，即a4＝4a3，所以公比q＝4.故选B.6．B[解析]设公比为q，由a2a3a6a9a10＝32得a＝32，所以a6＝2，所以＝＝a6＝2.故选B.7．C[解析]由题意可知q≠1，＝，解得q＝2，数列是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得其前5项和为.因此选C.8．A[解析]由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44，所以选择A.9．A[解析]设等差数列{an}的公差为d，则有(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，得a1＝－4d，所以＝＝＝＝2.故选A.10．243[解析]设此数列为{an}，由题设a5a6＝3，从而a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝35＝243.11．2[解析]由已知得(a4a5)4＝16，因为an>0，所以a4a5＝2，所以a4＋a5≥2＝2.12．1536[解析]设公比为q，则am＋5＝amq5＝3q5＝24，所以q5＝8，am＋15＝am＋5q10＝24×82＝1536.13．21006[解析]据题意可推知此数列为1,2,2,4,4,8,8,16,16，…，其奇数项为1,2,4,8，…，偶数项为2,4,8,16，…，所以a2012＝21006.14．[解答]设{an}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.15．[解答](1)由q＝3，S3＝得＝，解得a1＝.所以an＝×3n－1＝3n－2.(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin＝1.又0<φ<π，故φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.【难点突破】16．[解答](1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知2＝·，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.因为d≠0，所以d＝a1＝a，故通项公式an＝na.(2)记Tn＝＋＋…＋.因为a2n＝2na，所以Tn＝＝·＝.从而，当a＞0时，Tn＜，当a＜0时，Tn＞.3
