第二十八章锐角三角函数28．2解直角三角形及其应用28．2.1解直角三角形1．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形，解直角三角形的依据(1)三边之间的关系：__(勾股定理)；(2)两锐角之间的关系：__；(3)边角之间关系：sinA＝；sinB＝；cosA＝，cosB＝；tanA＝__，tanB＝__．2．解直角三角形的条件是必须知道除直角外的__个元素且至少有一个是__．(C∠＝90°)；a2＋b2＝c2∠A＋∠B＝90°acbcbcacabba两边已知两边解直角三角形1．(4分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°2．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是()A．计算tanA的值求出B．计算sinA的值求出C．计算cosA的值求出D．计算cosB的值求出3．(12分)在Rt△ABC，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝43，解这个直角三角形．DC解：∵tanA＝BCAC＝1243＝3，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－A∠＝90°－60°＝30°，AB＝2AC＝83已知一边一锐角解直角三角形4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为()A．4B．25C.181313D.12313,第4题图),第5题图)5．(4分)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于()A．asin40°米B．acos40°米C．atan40°米D.atan40°米6．(4分)如图，在△ABC中，若∠A＝75°，∠C＝45°，AB＝2，则AC的长等于()A．22B．23C.6D.236ACC7．(4分)如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm8．(4分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为(3，1)，若将△OAB逆时针旋转60°后，B点到达B′后，则B′点的坐标是__．C(32，32)一、选择题(每小题5分，共15分)9．如图所示，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC＝()A．asinα＋bcosβB．acosα＋bsinβC．asinα＋bsinβD．acosα＋bcosβ,第9题图),第10题图)10．如图，是一楼梯示意图，∠B＝30°，高AC＝2m．现要在楼梯表面铺一层红色地毯，至少需要红地毯()A．4mB．5mC．(2＋23)mD．7m11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝15，则AD的长为()A．2B.3C.2D．1点拨：过点D作DEAB⊥于E，在等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，AC＝BC＝6，AB＝62＋62＝62，设DE的长为x，tan∠DBA＝DEEB＝15，∴EB＝5x，AE＝DE＝x，∴AB＝6x＝62，x＝2，AD＝2x＝2.BCA二、填空题(每小题5分，共15分)12．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是__cm2.13．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高了_m.14．在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是_或_．③如图，AB＝AC＝4，CDAC＝sin30°＝12，∴CD＝4.25362(3－2)4或43433三、解答题(共30分)15．(14分)(2013·丽水)一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m．已知木箱高BE＝3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB＝3，BE＝3，∴AE＝AB2＋BE2＝23，又∵tan∠EAB＝BEAB＝33，∴∠EAB＝30°，在Rt△AEF中，∠EAF＝EAB∠＋BAC∠＝60°，∴EF＝AE·sin∠EAF＝23×sin60°＝23×32＝3(m)．答：木箱端点E距地面AC的高度是3m.【综合运用】16．(16分)已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B，E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sinC＝35时，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OE，∵AB＝BC且D是AC的中点，∴DB⊥AC，∵OE＝OB，∴∠OEB＝OBE∠，又BE∵平分ABD∠，∴∠EBO＝DBE∠，∴∠OEB＝EBD∠，∴OE∥DB，∴OE⊥AC，∴AC为O⊙的切线(2)DB∵＝6，sinC＝DBBC＝35，∴BC＝10，∴AB＝10，设O⊙的半径为r，则AO＝10－r，∵∠A＝C∠，∴sinA＝OEOA＝r10－r＝35，∴r＝154，∴⊙O的半径为154
