23-圆的切线的性质及判定定理-课件(人教A选修4-1)VIP免费

1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过如图，已知AB切⊙O于A点，则⊥AB.(2)推论1：经过圆心且的直线必经过切点．(3)推论2：经过切点且的直线必经过圆心．切点的半径．OA垂直于切线垂直于切线2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端点且与这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．垂直[例1]如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．[思路点拨]⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．[解]连接OE， AB与⊙O切于点E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°. ∠C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴OEBC＝AOAB. BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，∴OE5＝12－OE13，∴OE＝103.即⊙O的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1.AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.证明：连接OD，则OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝2∠DAO＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.2.如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径．PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1.(1)求∠P的度数；(2)求DE的长．解：(1)连接OC. C为切点，∴OC⊥PC，△POC为直角三角形． OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，∴sin∠P＝OCPO＝12.∴∠P＝30°.(2) BD⊥PD，∴在Rt△PBD中，由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，得BD＝32.连接AE.则∠AEB＝90°，∴AE∥PD.∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin30°＝1，∴DE＝BD－BE＝12.[例2]已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB，OC，OD→∠BOD＝90°→∠OBC＝∠OCB＝30°→∠ABO＝90°→结论.[证明]如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E. ∠DCB是BD所对的圆周角，∠BOD是BD所对的圆心角，∠BCD＝45°，∴∠BOD＝90°. ∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，从而∠BOC＝120°， OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.在△OEC中，因为∠EOC＝∠ECO＝30°，∴OE＝EC，在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°.∴BE＝2OE＝2EC，∴CEBE＝CDDA＝12，∴AB∥OD，∴∠ABO＝90°，故AB是△BCD的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：作直径BE，连接DE， BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠E＋∠DBE＝90°. ∠C＝∠E，∠ABD＝∠C，∴∠ABD＋∠DBE＝90°.即∠ABE＝90°.∴AB是△BCD的外接圆的切线．4.如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝12，∠D＝30°.(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若AC＝6，求AD的长．解：(1)证明：如图，连接OA， sinB＝12，∴∠B＝30°， ∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°， ∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°，∴AD是⊙O的切线．(2) OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6， ∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝3AO＝63.[例3]如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．[思路点拨](1)连接OD，证明OD⊥DE；(2)作DG⊥AB.BC[证明](1)连接OD， D是BC中点，∴∠1＝∠2. OA＝OD，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD∥AE. DE⊥AE，∴DE⊥OD，...