8.9.2定点、最值与范围问题[课时跟踪检测]1．(2018届湖南益阳调研)已知抛物线C：y2＝4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别为M1，M2.(1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程；(2)求△FM1M2面积的最小值；(3)过M1，M2的直线l是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．解：(1)由题设条件得焦点F坐标为(1,0)，设直线P1P2的方程为y＝k(x－1)，k≠0.联立得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0.Δ＝[－2(2＋k2)]2－4k2·k2＝16(1＋k2)>0.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M1(x，y)，则x＝(x1＋x2)＝1＋，y＝k(x－1)＝，所以x＝1＋y2.所以线段P1P2的中点M1的轨迹方程为y2＝2(x－1)(x>1)．(2)由(1)知点M1的坐标为，用－代换k可得M2的坐标为(1＋2k2，－2k)．所以|FM1|＝＝，|FM2|＝＝2|k|，因此S△FM1M2＝|FM1|·|FM2|＝2≥4.当且仅当＝|k|，即k＝±1时，S△FM1M2取到最小值4.(3)过定点．当k≠±1时，直线l的斜率为k′＝，所以直线l的方程为y＋2k＝(x－2k2－1)，即yk2＋(x－3)k－y＝0，①当x＝3，y＝0时方程①对任意的k(k≠±1)均成立，即直线l过点(3,0)．当k＝±1时，直线l的方程为x＝3，也过点(3,0)．所以直线l恒过定点(3,0)．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得EA2＋EA·AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e＝得＝，即c＝a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线2x－y＋6＝0相切，∴a＝＝，代入①得c＝2.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴假设存在定点E(m,0)，使得EA2＋EA·AB为定值，则有EA2＋EA·AB＝EA·(EA＋AB)＝EA·EB＝为定值，要使上式为定值，则应有3m2－12m＋10＝3(m2－6)，即m＝.此时EA2＋EA·AB＝m2－6＝－.所以定点为，定值为－.3．(2018届贵阳市监测考试)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且PF1·PF2的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2的面积S的最大值．解：(1)设P(x，y)，则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，所以PF1·PF2＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x∈[－a，a]，由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得m2＝2k2＋1.设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝.①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，所以|MN|＝·|d1－d2|，∴S＝·|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝.∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，∴S<2.②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，S＝2，所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2.4．(2017届石家庄模拟)已知以A为圆心的圆(x－2)2＋y2＝64上有一个动点M，B(－2,0)，线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为Z.(1)求轨迹Z的方程；(2)过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线Z于D，E，F，G四个点，求|DE|＋|FG|的取值范围．解：(1)连接PB，依题意得|PB|＝|PM|，所以|PB|＋|PA|＝|AM|＝8>|AB|，所以点P的轨迹Z是以A，B为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a＝4，c＝2，则b＝2.所以轨迹Z的方程是＋＝1.(2)当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|＋|FG|＝6＋8＝14；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，联立整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以|DE|＝＝·＝，同理可得|FG|＝，所以|DE|＋|FG|＝，设t＝k2＋1，则t>1，所以|DE|＋|FG|＝＝，又0<<1，∴12<－2＋≤，∴≤<14，所以|DE|＋|FG|的取值范围是.综上，|DE|＋|FG|的取值范围是.
