第四讲导数的综合应用(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.设函数f(x)=x2-9lnx在区间a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.1
f(x)成立,若f(ln4)=2,则不等式f(x)>的解是()A.x>ln4B.01D.0,所以g′(x)>0在R上恒成立,因此g(x)=在R上是增函数,g(ln4)====1,由f(x)>,得g(x)=>1,所以g(x)>g(ln4),由于g(x)在R上是增函数,所以x>ln4.4.已知函数f(x)=x2-x-lnx,则函数f(x)的最小值为()A.--lnB.--ln2C.-D.-+ln3【解析】选B.因为f(x)=x2-x-lnx,所以f′(x)=x-1-=,(x>0),令f′(x)=0,得x=2,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当x=2时,f(x)有最小值f(2)=--ln2.5.已知函数f(x)=x2++4lnx,g(x)=kx-1,若f(x)≥g(x),则k的取值范围为()A.(-∞,4]B.(-∞,4)C.(0,4)D.(-∞,3]【解析】选A.因为f(x)=x2++4lnx,x>0,所以f′(x)=2x-+=,构造函数h(x)=x3+2x-1,x>0,是增函数,h(0)=-1,h=,所以存在唯一的x0∈使得h(x)=0,所以在区间(0,x0)上,h(x)<0,f′(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x0,+∞)上,h(x)>0,f′(x)>0,f(x)是增函数,如图,于是问题转化为过点(0,-1),作曲线y=f(x)的切线,求斜率k,设切点为P(x1,y1),则切线斜率为f′(x1)=2x1-+,所以2x1-+=,又y1=++4lnx1,所以x1=1,所以切线方程为y=4x-1,由图象可知k的取值范围为k≤4.6.(2018·惠州模拟)已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式f(lnx)+f<2f(1)的解集为()A.(e,+∞)B.(0,e)C.∪(1,e)D.【解析】选D.f(x)=xsinx+cosx+x2,因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以f=f(-lnx)=f(lnx),所以f(lnx)+f<2f(1)可变形为f(lnx)0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f(lnx)0,故g′(x)>0,g(x)为增函数,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,故g′(x)<0,g(x)为减函数,所以g(x)max=g(1)=,又当x→+∞时,g(x)→0,所以g(x)的图象如图所示,故00),h′(x)=1--==,①当a+1>0,即a>-1时,在(0,1+a)上h′(x)<0,在(1+a,+∞)上h′(x)>0,所以h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞)上单调递增.②当1+a≤0,即a≤-1时,在(0,+∞)上h′(x)>0,所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.综上所述,当a>-1时,h(x)的单调递减...
