配餐作业(五十八)曲线与方程(时间：40分钟)一、选择题1．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。故选D。答案D2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16>0，所以动点P的轨迹是圆。故选B。答案B3．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点。若过B作垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析由已知得|MF|＝|MB|。由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线。故选D。答案D4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－＝1(y≤－1)B．y2－＝1C．y2－＝－1D．x2－＝1解析由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2。故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支。 c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)。故选A。答案A5．经过抛物线y2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．直线解析设抛物线的焦点为F，坐标为，弦AB中点坐标为(x，y)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点差法得kAB＝＝＝kMF＝化简得y2＝p，故轨迹为抛物线。故选A。答案A6．(2017·衡水调研卷)双曲线M：－＝1(a>0，b>0)实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB，则动点Q的运动轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析A(－a,0)，B(a,0)，设Q(x，y)，P(x0，y0)，kAP＝，kBP＝，kAQ＝，kBQ＝，由QA⊥PA且QB⊥PB，得kAPkAQ＝·＝－1，kBPkBQ＝·＝－1。两式相乘即得轨迹为双曲线。故选C。答案C二、填空题7．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC＝2CB，则动点C的轨迹方程为__________________。解析设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9。又C(x，y)，则由AC＝2CB，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)。即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋y2＝1。答案x2＋y2＝18．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足向量OP在向量OA上的投影为－，则点P的轨迹方程是__________________。解析由＝－，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0。答案x＋2y＋5＝09．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB的中点为M，则点M的轨迹方程是____________________。解析由题意知F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，y＝4x1，y＝4x2，后两式相减并将前两式代入，得(y1－y2)y＝2(x1－x2)。当x1≠x2时，y＝2，又A，B，M，F四点共线，所以＝，代入上式，得y2＝2(x－1)；当x1＝x2时，M(1,0)也满足这个方程，即y2＝2(x－1)是所求的轨迹方程。答案y2＝2(x－1)三、解答题10．在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2OM·ON＝A1P·A2P(O为坐标原点)。求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型。解析OM＝(x,1)，ON＝(x，－2)，A1P＝(x＋，y)，A2P＝(x－，y)。 λ2OM·ON＝A1P·A2P，∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)为点P的轨迹方程。①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。答案见解析11．(2016·安徽淮南二模)已知点A(－2,0)，P是⊙O：x2＋y2＝4上任意一点，P在x轴上的射影为Q，QP＝2QG，动点G的轨迹为C，直线y＝kx(k≠0)与轨迹C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N。(1)求轨迹C的方程；(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的...
