课时作业54抛物线一、选择题1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是()A.B.C.D.解析：抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是.答案：C2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为()A．2B．1C.D.解析：曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A.答案：A3．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20解析：由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.答案：A4．(2017·江西南昌一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝()A.B.C．3D．2解析：设l与x轴的交点为M，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以＝＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝，故选A.答案：A5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2解析：方法1：若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，所以x1x2＝；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.方法2：若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k(x－)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.所以y1y2＝－p2.故＝－4.1答案：A6．(2017·河北邯郸一模)已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若MF·MN<0，则x0的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(－1,1)解析：由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F，根据题意可知，N(x0,0)，x0≠0，MF＝，MN＝(0，－y0)，所以MF·MN＝－y0<0，即00)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析：由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.答案：68．(2017·沈阳第一次质检)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.解析：令l与y轴交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝2，所以AB＝.设P(x0，y0)，则|x0|＝，代入x2＝4y中，则y0＝，故|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.答案：9．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为____________．解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝010．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．2解析：设|AF|＝m，|BF|＝n，则|BC|＝n，|AD|＝m，|AE|＝m－n，|AF|＋|BF|＝m＋n.在Rt△ABE中，由于∠BAE＝60°，所以cos60°＝，解得＝3，即的值等于3.答案：3三、解答题11．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．解：设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0或x＝.∴A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得②÷①得k6＝64，即k2＝4.则p2＝＝.又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.12．(2017·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.(1)求OA·OB；(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率k...
