1．3.2奇偶性(第2课时函数奇偶性的应用)1．函数奇偶性的概念(1)偶函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的一个x，都有，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)奇函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的一个x，都有____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝-f(x)1．奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于对称．(2)奇函数的图象关于对称．2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是，且有.(2)若偶函数f(x)在(∞－，0)上是减函数，则f(x)在(0∞，＋)上是．y轴原点最小值－M增函数增函数1．奇函数的图象一定过原点吗？【提示】不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点．2．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想到什么简便方法？【提示】若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x>0部分，再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x[0,5]∈时，函数y＝f(x)的图象如图所示，(1)作出函数在[－5,0]的图象；(2)使函数值y<0的x的取值集合．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①f(x)是[-5,5]上的奇函数；②f(x)在[0,5]上图象已知．解答本题可先利用奇函数的图象关于原点对称，作出f(x)的图象，再利用图象解不等式．【解析】利用奇函数图象的性质，画出函数在[-5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，知它在[-5,0]上的图象，如图1所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)(2,5)∪．本题利用奇函数图象的特点，作出函数在区间[－5,0]上的图象，利用图象求出满足条件的自变量x的取值集合．数形结合是研究函数的重要方法，画函数图象是学习数学必须掌握的一个重要技能，并能利用函数图象理解函数的性质．1.如图给出了偶函数y＝f(x)(xR)∈的局部图象，(1)画出x>0部分的局部图象．(2)求f(3)，并比较f(1)与f(3)的大小．【解析】因为函数y＝f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故保留y＝f(x)在(∞－，0]上的图象，在[0∞，＋)上作y＝f(x)关于y轴对称的图象，如图所示，即得函数y＝f(x)，x∈R的图象．由图象知f(3)＝－2，f(1)＝－1，所以f(1)>f(3)．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)是R上的奇函数；②x>0时f(x)的解析式已知．解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．【解析】(1)当x＝0时，由f(－x)＝－f(x)得f(0)＝0；(2)当x<0时，则－x>0∴f(－x)＝(－x)·[1－(－x)]又 f(－x)＝－f(x)∴－f(x)＝(－x)·(1＋x)∴f(x)＝x·(1＋x)∴函数f(x)的解析式为：f(x)＝x·(1－x)(x>0)0(x＝0)x(1＋x)(x<0)此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．2.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)＝0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？【解析】设x<0，则－x>0∴f(x)＝f(－x)＝－x·[1－(－x)]＝－x·(1＋x)又f(0)＝0∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x(1－x)(x>0)0(x＝0)－x·(1＋x)(x<0)已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围．【思路点拨】f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)0∴0f(x2)或f(x1)
