三年高考（-）高考数学试题分项版解析 专题08 导数与不等式、函数零点相结合 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题08导数与不等式、函数零点相结合【2017年】1.【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，设，则，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数与函数没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，解得.故选C.【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想2.【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.在大于0的点.3.【2017课标II，理】已知函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。【解析】试题解析：（1）的定义域为。设，则，等价于。因为，因，而，得。若，则。当时，，单调递减；当时，，单调递增。所以是的极小值点，故综上，。（2）由（1）知，。设，则。当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增。又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，。因为，所以是的唯一极大值点。由得，故。由得。因为是在（0,1）的最大值点，由，得。所以。【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值4.【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.【答案】（1）增区间是，，减区间是.（2）（3）证明见解析【解析】试题分析：由于为，所以判断的单调性，需要对二次求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间;由，得，.令函数，分别求导证明.有关零点问题，利用函数的单调性了解函数的图像情况，对极值作出相应的要求可控制零点的个数.试题解析：（Ⅰ）由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：x+-+↗↘↗所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.（Ⅱ）证明：由，得，.令函数，则.由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.（III）证明：对于任意的正整数，，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.【考点】导数的应用【2016年】1．【2016高考新课标1卷】已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案】【解析】试题分析：(I)求导,根据导函数的符号来确定,主要要根据导函数零点来分类；(II)借组第一问的结论来证明,由单调性可知等价于,即．设,则．则当时,,而,故当时,．从而,故．试题解析;（Ⅰ）．（i）设,则,只有一个零点．（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则,故存在两个零点．（Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知,,在上单调递减,所以等价于,即．由于,而,所以．设,则．所以当时,,而,故当时,．从而,故．考点：导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥...