专题限时集训(八)空间向量与立体几何[专题通关练](建议用时：20分钟)1．(2019·泰安一模)在直三棱柱ABCA1B1C1，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为()A.B.C.D.D[建立如图所示的空间直角坐标系：则A(1,0,0)，B(0,1,0)，N，M，∴AN＝，BM＝，cos〈AN，BM〉＝＝＝＝.故选D.]2．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°C[由已知可得CA·AB＝0，AB·BD＝0，如图，CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝32＋22＋42＋2×3×4cos〈CA，BD〉＝()2，∴cos〈CA，BD〉＝－，即〈CA，BD〉＝120°，∴所求二面角的大小为60°，故选C.]3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6C．8D．8C[在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，连接BC1，AC1，则∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，所以在Rt△ABC1中，BC1＝＝2，在Rt△BCC1中，CC1＝＝2，所以该长方体体积V＝BC×CC1×AB＝8.]4.(2019·汕头模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥平面ABCDD．MN∥A1B1D[在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则M(1,2,1)，N(0,1,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，MN＝(－1，－1,0)，CC1＝(0,0,2)，MN·CC1＝0，∴MN⊥CC1，故A正确；A(2,0,0)，AC＝(－2,2,0)，MN·AC＝0，∴MN⊥AC， AC∩CC1＝C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B正确； 平面ABCD的法向量n＝(0,0,1)，MN·n＝0，又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故C正确；A1(0,2,2)，B1(2,2,2)，∴A1B1＝(2,0,0)，∴MN与A1B1不平行，故D错误．故选D.]5.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝＋＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.]6.[一题多解]如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，点C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，则二面角ABCP的大小为________．[法一：(几何法)由题意可知AC⊥BC，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴∠PCA为二面角ABCP的平面角．在Rt△BCA中，AB＝2，BC＝，∴AC＝1.在Rt△PCA中，PA＝，∴tan∠PCA＝＝，∴∠PCA＝.法二：(坐标法)以A为原点，AP为z轴，AC为y轴，过A且垂直于AC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由AB＝2，PA＝BC＝，可知AC＝＝1.∴P(0,0，)，B(，1,0)，C(0,1,0)，PB＝(，1，－)，PC＝(0,1，－)．设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则即取z＝1得n＝(0，，1)．平面ABC的法向量m＝(0,0,1)设二面角ABCP的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝.][能力提升练](建议用时：15分钟)7.如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.(1)证明：A1E⊥平面AC1D；(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．[解](1)证明：由已知得△A1B1C1为正三角形，D为棱A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，C1D底面A1B1C1，则A...
