圆锥曲线之二面积问题如图，是圆：内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线，并求出其轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得，根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，，，，轨迹方程为，（2）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得，消去得，设，，则，，则，又，，一、（2018湖北宜昌高三元月调研考试）令，由，得，，，易证在递增，，，面积的最大值.已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为点，且点是线段的中点.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若直线：与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，椭圆的左顶点，上顶点，直线的斜率，得．因为点是线段的中点，∴点的坐标是，由点在直线上，∴，且，解得，，二、(2018湖北七市教研协作高三3月联考)∴椭圆的方程为.（2）设，，，将代入消去并整理得，则，，，∵四边形为平行四边形，∴，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为.故平行四边形的面积为定值.如图，已知椭圆：，其左右焦点为、，过点的直线交椭圆三、(2018河北武邑中学高三下学期开学考试)于，两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于、两点，且、、构成等差数列．（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）方程为.【解析】（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与，轴垂直．设方程为，将其代入，整理得，设，，所以，故点的横坐标为，所以，设，因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，因此，，所以存在直线，方程为．
