高考数学一轮复习 第4章 三角函数 专题研究1 三角函数的值域与最值练习 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题研究1三角函数的值域与最值1．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是()A．(－，]B．[－，]C．[，]D．[－，－]答案B解析x∈[0，]，x＋∈[，π]，∴y∈[－，]．2．如果|x|≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是()A.B．－C．－1D.答案D解析f(x)＝－sin2x＋sinx＋1＝－(sinx－)2＋，当sinx＝－时，有最小值，ymin＝－＝.3．(2018·湖南衡阳月考)定义运算：a*b＝例如1*2＝1，则函数f(x)＝sinx*cosx的值域为()A．[－，]B．[－1，1]C．[，1]D．[－1，]答案D解析根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期内的情况即可．设x∈[0，2π]，当≤x≤时，sinx≥cosx，f(x)＝cosx，f(x)∈[－1，]，当0≤x<或sinx，f(x)＝sinx，f(x)∈[0，)∪[－1，0]．综上知f(x)的值域为[－1，]．4．(2018·河北石家庄一检)若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图像关于点(，0)对称，则函数f(x)在[－，]上的最小值是()A．－1B．－C．－D．－答案B解析因为f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)，则由题意，知f()＝2sin(π＋θ＋)＝0.又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin2x，则f(x)在[－，]上是减函数，所以函数f(x)在[－，]上的最小值为f()＝－2sin＝－.故选B.5．(2018·黄冈中学适应性考试)将函数f(x)＝cos2x－sin2x的图像向左平移个单位后得到函数F(x)的图像，则下列说法中正确的是()A．函数F(x)是奇函数，最小值是－2B．函数F(x)是偶函数，最小值是－2C．函数F(x)是奇函数，最小值是－D．函数F(x)是偶函数，最小值是－答案C解析f(x)＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)，将f(x)的图像向左平移个单位后得到F(x)＝cos[2(x＋)＋]＝cos(2x＋)＝－sin2x的图像，易知F(x)为奇函数，最小值为－，故选C.6．当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值是()A.B.C．2D．4答案D解析f(x)＝＝，当tanx＝时，f(x)的最小值为4，故选D.7．已知f(x)＝，x∈(0，π)．下列结论正确的是()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值答案B解析令t＝sinx，t∈(0，1]，则y＝1＋，t∈(0，1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．另外还可通过y＝1＋，得出sinx＝，由sinx∈(0，1]也可求出，故选B.8．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________．答案π1解析y＝sinx－cosx＝2sin(x－)， x∈[0，2π)，∴x－∈[－，)，∴当x－＝，即x＝π时，函数取得最大值2.9．(2018·北京西城模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋)，其中x∈[－，α]．当α＝时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－，1]，则α的取值范围是________．答案[－，1][，]解析若－≤x≤，则－≤2x≤，－≤2x＋≤，此时－≤sin(2x＋)≤1，即f(x)的值域是[－，1]．若－≤x≤α，则－≤2x≤2α，－≤2x＋≤2α＋. 当2x＋＝－或2x＋＝时，sin(2x＋)＝－，∴要使f(x)的值域是[－，1]，则有≤2α＋≤，即≤2α≤π，∴≤α≤，即α的取值范围是[，]．10．若函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－π，α]上最小值为－，则α的取值范围是________．答案(－，]解析y＝2－(cosx－1)2，当x＝－π时，y＝－，根据函数的对称性α∈(－，]．11．(2014·课标全国Ⅱ，理)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．答案1解析f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ－φ)＝sinx，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.12．(2017·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则：(1)m＝________；(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为________．答案(1)0(2)40或41解析(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋1＋cos2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，因为0≤x≤，所以≤2x＋≤.所以－≤sin(2x＋)≤1，f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，所以m＝0.(2)由(1)f(x)＝2sin(2x＋)＋1，T＝＝π，在区间[a，a＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.13．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．答案(1)T＝π(2)，－解析(1)由已知，有f(x)＝－＝(c...