专题研究1三角函数的值域与最值1.函数y=cos(x+),x∈[0,]的值域是()A.(-,]B.[-,]C.[,]D.[-,-]答案B解析x∈[0,],x+∈[,π],∴y∈[-,].2.如果|x|≤,那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是()A.B.-C.-1D.答案D解析f(x)=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+,当sinx=-时,有最小值,ymin=-=.3.(2018·湖南衡阳月考)定义运算:a*b=例如1*2=1,则函数f(x)=sinx*cosx的值域为()A.[-,]B.[-1,1]C.[,1]D.[-1,]答案D解析根据三角函数的周期性,我们只看在一个最小正周期内的情况即可.设x∈[0,2π],当≤x≤时,sinx≥cosx,f(x)=cosx,f(x)∈[-1,],当0≤x<或sinx,f(x)=sinx,f(x)∈[0,)∪[-1,0].综上知f(x)的值域为[-1,].4.(2018·河北石家庄一检)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图像关于点(,0)对称,则函数f(x)在[-,]上的最小值是()A.-1B.-C.-D.-答案B解析因为f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+),则由题意,知f()=2sin(π+θ+)=0.又0<θ<π,所以θ=,所以f(x)=-2sin2x,则f(x)在[-,]上是减函数,所以函数f(x)在[-,]上的最小值为f()=-2sin=-.故选B.5.(2018·黄冈中学适应性考试)将函数f(x)=cos2x-sin2x的图像向左平移个单位后得到函数F(x)的图像,则下列说法中正确的是()A.函数F(x)是奇函数,最小值是-2B.函数F(x)是偶函数,最小值是-2C.函数F(x)是奇函数,最小值是-D.函数F(x)是偶函数,最小值是-答案C解析f(x)=cos2x-sin2x=cos(2x+),将f(x)的图像向左平移个单位后得到F(x)=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin2x的图像,易知F(x)为奇函数,最小值为-,故选C.6.当0<x<时,函数f(x)=的最小值是()A.B.C.2D.4答案D解析f(x)==,当tanx=时,f(x)的最小值为4,故选D.7.已知f(x)=,x∈(0,π).下列结论正确的是()A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值答案B解析令t=sinx,t∈(0,1],则y=1+,t∈(0,1]是一个减函数,则f(x)只有最小值而无最大值.另外还可通过y=1+,得出sinx=,由sinx∈(0,1]也可求出,故选B.8.当函数y=sinx-cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=________.答案π1解析y=sinx-cosx=2sin(x-), x∈[0,2π),∴x-∈[-,),∴当x-=,即x=π时,函数取得最大值2.9.(2018·北京西城模拟)已知函数f(x)=sin(2x+),其中x∈[-,α].当α=时,f(x)的值域是________;若f(x)的值域是[-,1],则α的取值范围是________.答案[-,1][,]解析若-≤x≤,则-≤2x≤,-≤2x+≤,此时-≤sin(2x+)≤1,即f(x)的值域是[-,1].若-≤x≤α,则-≤2x≤2α,-≤2x+≤2α+. 当2x+=-或2x+=时,sin(2x+)=-,∴要使f(x)的值域是[-,1],则有≤2α+≤,即≤2α≤π,∴≤α≤,即α的取值范围是[,].10.若函数y=sin2x+2cosx在区间[-π,α]上最小值为-,则α的取值范围是________.答案(-,]解析y=2-(cosx-1)2,当x=-π时,y=-,根据函数的对称性α∈(-,].11.(2014·课标全国Ⅱ,理)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin(x+φ-φ)=sinx,因为x∈R,所以f(x)的最大值为1.12.(2017·湖北武汉调研)已知函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为3,则:(1)m=________;(2)对任意a∈R,f(x)在[a,a+20π]上的零点个数为________.答案(1)0(2)40或41解析(1)f(x)=sin2x+2cos2x+m=sin2x+1+cos2x+m=2sin(2x+)+m+1,因为0≤x≤,所以≤2x+≤.所以-≤sin(2x+)≤1,f(x)max=2+m+1=3+m=3,所以m=0.(2)由(1)f(x)=2sin(2x+)+1,T==π,在区间[a,a+20π]上有20个周期,故零点个数为40或41.13.(2015·天津)已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.答案(1)T=π(2),-解析(1)由已知,有f(x)=-=(c...