命题角度2.2：利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题1.已知的三个内角的对边分别为.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）若，且的面积，求角.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析:（Ⅰ）有条件及三角形内角和关系可得，再根据诱导公式可得，然后利用两角和余弦公式展开，结合二倍角公式及平方关系，将式子转化为关于的关系式，（Ⅱ）由三角形面积公式及余弦定理，代入条件化简得；再根据正弦定理将条件化角：，最后根据三角形内角关系消去C角得：，根据二倍角及配角公式可得，结合B角范围可得结果.（Ⅱ）在中，由余弦定理知：2.在中，为边上一点，，，.（1）若，求外接圆半径的值；（2）设，若，求的面积.【答案】（1）;（2）.试题解析：（1）由余弦定理，得，解得.由正弦定理得，.（2）设，则， ，∴.∴. ，∴.∴，即，解得.∴. ，∴.∴.3.如图，在中，角的对边分别为,.（1）求角的大小；（2）若为外一点，，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得即得，.（2），由余弦定理得，将数据代入可得，利用配角公式得，最后根据三角形有界性可得四边形的面积最大值。4.在中，三边所对应的角分别是，已知成等比数列.（1）若，求角的值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先将切化弦变形得，利用等比数列性质和正弦定理得，进而得，即，由不是最大边得（2）易得外接圆半径，利用余弦定理和均值不等式得，即，再利用正弦定理和三角形正弦公式得，利用，进而解得.（2） 外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，由余弦定理，得，又，∴.当且仅当时取等号，又 为的内角，∴，由正弦定理，得.∴的面积， ，∴，∴.考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、均值不等式.5.已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．（1）证明：；（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.试题解析:（1）由题意知：，解得：， ，∴，∴，∴.∴.（2）因为，，所以，所以为等边三角形，， ，∴，当且仅当，即时取最大值，的最大值为.6.已知中，角所对的边分别为，且，.（1）若，求的大小；（2）若为三个连续正整数，求的面积.【答案】（1）（2）的面积为【解析】试题分析：(1)由题意边化角，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意可设，，，，结合余弦定理得，据此可得的面积为.试题解析：（1） ，∴由正弦定理有，又，即，于是，在中，，于是，.（2）因为，故，故设，，，；由，得，∴.由余弦定理得：，代入可得：，解得：，∴，，，故，故，故的面积为.7.在中，分别是角的对边，成等比数列，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，且，求的面积．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由是一个等比数列得：，得，再由余弦定理，即可求解角的值.（Ⅱ）由题意得或，分类讨论，利用正、余弦定理，即可求解的面积.试题解析：（Ⅰ）由是一个等比数列得：，所以由得，，，又（Ⅱ）由得：，①当，由题意，，，所以由正弦定理得：，，故由勾股定理得：，②当时，由题意，，，所以由余弦定理得：，，，，综上①②得：的面积：8.在中，已知分别是角的对边，且。（1）若，求的值；（2）若，求的面积的最大值。【答案】(1)；(2)1.【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得是等腰直角三角形，则；(2)结合余弦定理得到面积的表达式，然后利用均值不等式的结论可得的面积的最大值是1.法2：因为，所以由余弦定理，得即所以（2）因为，，所以由余弦定理，得所以因为,所以所以的面积由，所以时，的最大值为2故的面积所以的面积的最大值为19.四边形如图所示，已知，.（1）求的值；（2）记与的面积分别是与，求的最大值.【答案】（1）;（2）14.【解析】试题分析:(1)在中,分别用余弦定理,列出等式,得出的值;(2)分别求出的表达式,利用(1)的结果,得到是关于的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出的范围,由的范围求出的范围,再求出的最大值.试题解...
