高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.7 离散型随机变量及其分布列真题演练集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.7离散型随机变量及其分布列真题演练集训理新人教A版1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．1当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.2．[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2××××＋×××＝.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝×××＝，P(X＝1)＝2××××＋×××＝＝，P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，P(X＝4)＝2××××＋×××＝＝，P(X＝6)＝×××＝＝.可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.课外拓展阅读离散型随机变量的分布列答题模板[典例]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件2正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．[解](1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P1＝×＝.(2)由题意，X的可能取值为200,300,400.则P(X＝200)＝＝；P(X＝300)＝＋＝；P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝.∴X的分布列如下：X200300400P[答题模板]求离散型随机变量分布列及期望的一般步骤：第一步：找出随机变量X的所有可能取值；第二步：求出X取每一个值时的概率；第三步：列出分布列．方法点睛(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.3