求二面角的一法三式向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方式：①先作、证二面角的平面角，再求得二面角的大小为；②先求二面角两个半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面角的大小为或其补角；③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂足不重合），又可转化为求两条异面直线的夹角．例1已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点．（1）证明：面面；（2）求与所成的角；（3）求面与面所成二面角的大小．证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图1所示空间直角坐标系，则．（1），即．又由已知，且，从而面．又面，故面面．（2），即与所成的角为．（3）解法1：在上取点使，，即，．从而由，解得．此时，又有，．又，即就是所求二面角的平面角．用心爱心专心1故，即所求二面角为．解法2：设，分别为平面与平面的法向量，且，和解得和取法向量为，故，即所求二面角为．例2如图2，在四棱锥，底面为矩形，底面，是上一点，．已知．求：（1）异面直线与的距离；（2）二面角的大小．解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，并设，则．（1），，解得．，即，又，故是异面直线与的公垂线．而，即异面直线与的距离为1．（2）作，并设，，且，则，可取．再作于，并设，用心爱心专心2，且，则，又取．由，，可知与的夹角就是所求二面角的大小，，即所求二面角为．用心爱心专心3
