第26讲三角函数的图象与性质(一)1．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(B)A．1B.C.D．2|MN|＝|sina－cosa|＝|sin(a－)|≤.2．(经典真题)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C)A．5B．6C．8D．10根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，得k＝5，所以最大值为3＋k＝8.3．(2019·福建一模)已知f(x)＝2cos2x－6sinxcosx，则函数f(x)的最大值是(C)A．3B.C.＋1D.－1f(x)＝1＋cos2x－3sin2x＝(cos2x－sin2x)＋1＝cos(2x＋α)＋1，所以f(x)的最大值为＋1.4．(2018·辽宁朝阳三模)已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则ω＝(B)A.B.C.D.由题意知f(x)的图象的一条对称轴为x＝＝，且f(x)在x＝处取得最小值，所以所以所以ω＝.5．如图，半径为R的圆的内接矩形周长的最大值为4R.设∠BAC＝θ，周长为p，则p＝2AB＋2BC＝2(2Rcosθ＋2Rsinθ)＝4Rsin(θ＋)≤4R，当且仅当θ＝时取等号．所以周长的最大值为4R.6．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)．若f(x)≤f()对任意的实数x都成立，则ω的最小值为____．因为f(x)≤f()对任意的实数x都成立，所以当x＝时，f(x)取得最大值，即f()＝cos(ω－)＝1，所以ω－＝2kπ，k∈Z，所以ω＝8k＋，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值.7．(经典真题)已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．(1)由已知，有f(x)＝－＝(cos2x＋sin2x)－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，且f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，所以f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－.8．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是(C)A．[－1,1]B．[－，1]C．[－1，]D．[－1，－]由f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|得f(x)＝f(x)的图象如下图中粗线所示，由图象可知，函数f(x)的值域是[－1，]．9．(2018·重庆模拟改编)函数y＝sinx－cosx－sinxcosx的最大值为＋.令sinx－cosx＝t∈[－，]，则t2＝1－2sinxcosx，所以函数y＝t－＝t2＋t－＝(t＋1)2－1，故当t＝时，函数y取最大值＋.10．(2018·江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．(1)如图，连接PO并延长交MN于点H，则PH⊥MN，所以OH＝10.过点O作OE⊥BC于点E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，△CDP的面积为×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1600(cosθ－sinθcosθ)．过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝，θ0∈(0，)．当θ∈[θ0，)时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1)．答：矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ＋cosθ)平方米，△CDP的面积为1600(cosθ－sinθcosθ)平方米，sinθ的取值范围是[，1)．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，则年总产值为4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ－sinθcosθ)＝8000k(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈[θ0，)．设f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈[θ0，)，则f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1)．令f′(θ)＝0,得θ＝，当θ∈(θ0，)时，f′(θ)>0，所以f(θ)为增函数；当θ∈(，)时，f′(θ)<0，所以f(θ)为减函数，因此，当θ＝时，f(θ)取到最大值．答：当θ＝时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
