高考数学复习点拨 向量与三角交汇的全面解析新人教A版VIP免费

向量与三角交汇的全面解析当今数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量是高中新增内容，具有代数与几何形式的双重身份．它是新旧知识的一个重要的交汇点，是联系这些知识的桥梁．因此，向量与三角的交汇是当今数学命题的必然趋势，下面举例说明．一、向量与三角函数性质的交汇例1已知向量a33cossin22xx，，bcossin22xx，，且π02x，，求：（1）ab·及ab；（2）若()fx2abab·的最小值是32，求的值．解析：（1）·ab33coscossinsincos22222xxxxx··；ab22233coscossinsin22cos22cos2222xxxxxx．π02x，，cos0x，ab2cosx．（2）()cos24cosfxxx，即22()2(cos)12fxx，π02x，，0cos1x≤≤．①当0时，当且仅当cos0x时，()fx取得最小值1，这与已知矛盾．②当01≤≤时，当且仅当cosx时，()fx取得最小值212，由已知23122，解得12．③当1时，当且仅当cos1x时，()fx取得最小值14，由已知得3142，解得58，这与1相矛盾．综上所述，12即为所求．点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论的思想方法．二、向量与三角函数求值、运算的交汇例2设a(1cos,sin)，b(1cos,sin)，c(1,0)，(0π)(π2π)，，，，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且12π6，求sin4的值．解析：22(1cos)sin2cos2a，22(1cos)sin2sin2b，1c，又21cos2cos2ac·，21cos2sin2bc·，用心爱心专心1coscos2acac·，2cossin2bcbc·．π022，，12．又(π2π)，，ππ22，，即ππ0222，由2πcossincos222，得2π22；由12π6，得ππ2226，π23，π46．π1sinsin462．点评：本题以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值的有关知识．三、向量与三角变换的交汇例3已知，AB是三角形ABC的两个内角，acos2ABi5sin22ABj，其中i，j为相互垂直的单位向量，若324a，求tantan·AB的值．解析：2a（cos2ABi5sin22ABj）2225cossin242ABAB1cos()51cos()92428ABAB，整理得4cos()5cos()ABAB．4coscos4sinsin5coscos5sinsinABABABAB，即9sinsincoscos0ABAB·．1tantan9AB·．用心爱心专心