第6节二次函数与幂函数1．(2019·呼和浩特市一模)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是()A．定义域内的减函数B．奇函数C．偶函数D．定义域内的增函数解析：B[∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，∴2b＝，解得b＝－3，∴f(x)＝x－3，∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．]2．(2019·唐山市一模)已知a＝3－，b＝2－，c＝ln3，则()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c解析：D[∵a＝3－，b＝2－＝4－，又y＝x－在(0，＋∞)上单调递减．∴b＜a＜1，又c＝ln3＞1，则b＜a＜c，故选D.]3．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．0B．1C．2D．3解析：C[∵y＝xm2－4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，∴m2－4m<0，即0
0时，函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－≤－1，得－3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[－3,0]．]5．(2019·黔东南州一模)二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点个数有()A．3个B．2个C．1个D．0个解析：C[因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，y＝x＝2，则在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝x的图象：由图可得，两个函数图象的交点个数是1个．]6．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________．解析：函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或解得a＝1.答案：17．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________.解析：由题意知m2－2m－3为奇数且m2－2m－3＜0，由m2－2m－3＜0得－1＜m＜3，又m∈N*，故m＝1,2.当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，∴m＝2.答案：28．(2019·潍坊市一模)已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．解析：由二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，可得判别式Δ＝4－4ac＝0，即有ac＝1，且a＞0，c＞0，所以＋≥2＝2×3＝6，当且仅当＝，即有c＝，a＝3，取得最小值6.答案：69．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．解：(1)由题意m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，若m＝2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去，所以m＝3，所以f(x)＝x2.(2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，g(x)的对称轴是x＝，若g(x)在[1,3]上不是单调函数，则1<<3，解得2x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．解：(1)由题意知解得所以f(x)＝x2＋2x＋1，由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k
