课堂达标(十七)同角三角函数基本关系及诱导公式[A基础巩固练]1．(2018·济南质检)α∈，sinα＝－，则cos(－α)的值为()A．－B.C.D．－[解析]因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，即cos(－α)＝，故选B.[答案]B2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2018)的值为()A．－1B．1C．3D．－3[解析]∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3.即f(2018)＝3.[答案]C3．(2018·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是()A.B.C.D.[解析]由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝.[答案]C4．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα等于()A．－B.C．－D.[解析]因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sinα＝.[答案]D5．已知－<α<0，sinα＋cosα＝，则的值为()A.B.C.D．－[解析]∵sinα＋cosα＝，∴1＋sin2α＝，即sin2α＝－，又∵－<α<0，∴cosα－sinα>0.∴cosα－sinα＝＝，∴＝＝.[答案]C6．(2018·辽宁沈阳三模)若sinα＋3sin＝0，则cos2α的值为()A．－B.C．－D.[解析]由sinα＋3sin(＋α)＝0，则sinα＋3cosα＝0，可得：tanα＝＝－3；则cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－.故选C.[答案]C7．化简：＝______.[解析]原式＝＝＝＝－1.[答案]－118．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝________.[解析]由题意可得tanθ＝2，原式＝＝＝2.[答案]29．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是______．[解析]cos＝cos＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.[答案]010．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．[解]∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝，∴sinθ＝－.∴原式＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝18.[B能力提升练]1．(2018·厦门模拟)已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是()A.B.C.D．－[解析]sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝.[答案]B2．设A，B，C为△ABC的三个内角，有以下表达式：(1)sin(A＋B)＋sinC；(2)cos(A＋B)＋cosC；(3)tantan；(4)sin2＋sin2.不管△ABC的形状如何变化，始终是常数的表达式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析](1)sin(A＋B)＋sinC＝sin(π－C)＋sinC＝2sinC，不是常数；(2)cos(A＋B)＋cosC＝cos(π－C)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0，是常数；(3)tantan＝tantan＝1，是常数；(4)sin2()＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1，是常数．故始终是常数的表达式有3个，选C.[答案]C3．(2018·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝______.[解析]原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα，因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0.[答案]04．(2018·辽宁五校第二次联考)已知sinx＝，cosx＝，且x∈(，2π)，则tanx＝______.2[解析]由sin2x＋cos2x＝1，即()2＋()2＝1，得m＝0或m＝8.又x∈(，2π)，∴sinx<0，cosx>0，∴当m＝0时，sinx＝－，cosx＝，此时tanx＝－；当m＝8时，sinx＝，cosx＝－(舍去)，综上知：tanx＝－.[答案]－5．已知A、B、C是三角形的内角，sinA，－cosA是方程x2－x＋2a＝0的两根．(1)求角A；(2)若＝－3，求tanB.[解](1)由已知可得，sinA－cosA＝1.①又sin2A＋cos2A＝1，∴sin2A＋(sinA－1)2＝1，即4sin2A－2sinA＝0，得sinA＝0(舍去)或sinA＝.∴A＝或，将A＝或代入①知A＝π时不成立，∴A＝.(2)由＝－3，得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0.∵cosB≠0，∴tan2B－tanB－2＝0，∴tanB＝2或tanB＝－1.∵tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去．故tanB＝2.[C尖子生专练]若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵△ABC是锐角三角形，则A＋B＞，∴A＞－B＞0，B＞－A＞0.∴sinA＞sin＝cosB，sinB＞sin＝cosA.∴cosB－sinA＜0，sinB－cosA＞0.∴点P在第二象限，选B.[答案]B3
