小题专练·作业(十三)一、选择题1．(2017·广东清远三中月考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2答案C解析当k＝4时，显然不合题意；当k≠4时，可得＝，解得k＝3或k＝5.经检验，都符合题意，故选C.2．(2017·海淀区练习)圆x2＋y2－2y＝0与曲线y＝|x|－1的公共点个数为()A．4B．3C．2D．0答案D解析本题考查直线与圆的位置关系．曲线方程可化为y＝圆的方程化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，则圆心(0，1)到直线y＝x－1(x≥0)的距离为＝>1，圆心(0，1)到直线y＝－x－1(x<0)的距离为＝>1，所以曲线y＝|x|－1与圆相离，无交点，故选D.3．(2017·衡水调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为(2，0)，且该焦点到渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为()A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1答案D解析由一个焦点为(2，0)，得c＝2，又－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，焦点(c，0)到渐近线的距离d＝＝b，∴b＝1，a2＝c2－b2＝3，∴双曲线的方程为－y2＝1，故选D.4．(2017·课标全国Ⅱ，文)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(，＋∞)B．(，2)C．(1，)D．(1，2)答案C解析依题意得，双曲线的离心率e＝，因为a>1，所以e∈(1，)，选C.5．(2017·唐山模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右两个焦点分别是F1、F2，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：x－y＋t＝0与圆O有公共点，则实数t的取值范围是()A．[－2，2]B．[0，2]C．[－4，4]D．[0，4]答案C解析双曲线x2－y2＝1的两个焦点分别是F1(－，0)，F2(，0)，从而圆O的方程为x2＋y2＝2.因为直线x－y＋t＝0与圆O有公共点，所以有≤，即|t|≤4，从而实数t的取值范围是[－4，4]，故选C.6．(2017·郑州质量预测)已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为()A．4B．5C.D．与点P的位置有关答案C解析如图，设P(m，n)，由题意得－m2＝1，即n2－4m2＝4，由得B(＋，＋)，同理，由得A(－，－＋)，则PB＝(－＋，－)，PA＝(－－，－－)，设PA，PB的夹角为θ，由图可知其恰为两条渐近线的夹角的补角，在y＝2x与y＝－2x上分别取两点(1，2)，(1，－2)，则cosθ＝＝－，所以|PA|·|PB|＝＝＝＝.7．(2017·乌鲁木齐诊断)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(－1)a，则其离心率为()A.B．2C.＋1D．2答案A解析本题考查双曲线的定义与几何性质．由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2a，所以Rt△AF1F2内切圆半径为＝＝c－a＝(－1)a，即c＝a，所以e＝＝，故选A.8．(2017·福州五校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析易知抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a＝2.又双曲线的离心率e＝，所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为－＝1，选A.9．(2017·南昌一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则cos∠AOB＝()A.B．－C.D．－答案D解析方法1：因为圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径为2，所以圆心O到直线y＝2x＋1的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝＝＝－.方法2：取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB，且∠AOB＝2∠AOD，又圆心到直线的距离d＝＝，即|OD|＝，所以cos∠AOD＝＝，故cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝2×()2－1＝－.10．(2017·兰州实战模拟)若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab取得最大值时，坐标原点到直线l的距离是()A．4B．8C．2D.答案D解析 圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16的圆心C(－4，－1)，直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C分成面积相等的两部分，∴直线l过圆C的圆心．∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1.又1＝4a＋b≥2＝4⇒ab≤(当且仅当a＝，b＝时取“＝”)，∴当ab取得最大值时，直线l的方程为x＋y＋1＝0，此时坐标原点到直线l的距离是＝，故选D.11．(201...
