考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用分类透析一三角恒等变换及应用例1在△ABC中,AC=6,cosB=45,C=π4.(1)求AB的长;(2)求cos(A-π6)的值.分析(1)先利用同角三角函数关系式求出sinB,再用正弦定理求AB的长.(2)先利用A+B+C=π和两角和公式求出cosA,再求出sinA,最后用两角差公式求解.解析(1)因为cosB=45,0AD,所以AD=3.(2)在△ABD中,由正弦定理可知BDsin∠BAD=ABsin∠ADB.又由cos∠BAD=2❑√23,可知sin∠BAD=13,所以sin∠ADB=AB·sin∠BADBD=❑√63.因为∠ADB=∠DAC+∠C=π2+∠C,所以cosC=❑√63.方法技巧解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未知元素,由已知条件合理选用正弦定理、余弦定理,注意角的范围与三角函数符号之间的联系.分类透析三三角恒等变换与解三角形的综合应用例3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足3c-acosA=bcosB,D是AC边上的一点.(1)求cosB的值;(2)若AB=2,AD=2DC,BD=4❑√33,求△ABC的面积.分析(1)先化简已知等式,再根据角的范围求出cosB.(2)设AD=2DC=2x,利用∠CDB=π-∠ADB和余弦定理建立方程组求出a,再由cosB求出sinB,代入S=12acsinB中,进而求出△ABC的面积.解析(1)由3c-acosA=bcosB,得3ccosB-acosB=bcosA,3ccosB=acosB+bcosA.由正弦定理得3sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC.因为sinC≠0,所以cosB=13.(2)设BC=a,AD=2DC=2x,则在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即9x2=4+a2-4a3.①在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=(2x)2+(4❑√33)2-222·2x·4❑√33;在△BDC中,由余弦定理得cos∠CDB=x2+(4❑√33)2-a22·x·4❑√33.因为cos∠CDB=-cos∠ADB,所以3x2-a2=-6.②由①②,解得a=3.又因为sin∠ABC=❑√1-19=2❑√23,所以△ABC的面积为12AB·BCsin∠ABC=2❑√2.方法技巧(1)一般地,如果条件为含有角的余弦或边的代数式,要灵活运用正弦、余弦定理实现边角转化;(2)三角形的面积公式涉及边、角,常和正弦、余弦定理结合起来运用.1.(2018年江苏卷,16改编)已知cos(π6+α)cos(π3-α)=-14,α∈(π3,π2).(1)求sin2α的值;(2)求tanα-1tanα的值.解析(1) cos(π6+α)cos(π3-α)=cosπ6+αsinπ6+α=12·sin(2α+π3)=-14,∴sin(2α+π3)=-12. α∈(π3,π2),∴2α+π3∈(π,4π3),∴2α+π3=7π6,解得2α=5π6.∴sin2α=sin5π6=12.(2)由(1)知sin2α=12,∴cos2α=-❑√32.∴tanα-1tanα=sinαcosα-cosαsinα=sin2α-cos2αsinαcosα=-2cos2αsin2α=-2×-❑√3212=2❑√3.2.(2018年全国Ⅰ卷,理17改编)如图所示,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=❑√7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-❑√714,sin∠CBA=❑√216,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=7+1-42❑√7=2❑√77.(2)设∠BAC=α,则...
