第2讲三角恒等变换与解三角形A级基础通关一、选择题1．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值为()A.B.C．－D．－解析：因为tan120°＝＝－，即tan70°＋tan50°－tan70°tan50°＝－.答案：D2．(2019·长郡中学质检)若cos＝，α∈，则sinα的值为()A.B.C.D.解析：由α∈，知＜α＋＜.又因为cos＝，得sin＝.故sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.答案：A3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B.C.D．2解析：因为cos＝，所以cosC＝2cos2－1＝2×()2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×(－)＝32，所以AB＝4.答案：A4．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cosC，则c＝()A．2B．2C．4D．3解析：由正弦定理及＝2cosC，得＝＝1，从而2cosC＝1，则C＝60°.又S△ABC＝absinC＝2，知ab＝8.又a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcos60°＝(a＋b)2－3ab＝12，故c＝2.答案：B5．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，发现A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测得B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A．20海里B．40海里C．20(1＋)海里D．40海里解析：连接AB.由题意可知CD＝40海里，∠ADB＝60°，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°.在△ACD中，由正弦定理，得＝，所以AD＝20(海里)．在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°.所以BD＝CD＝40.在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20(海里)．答案：A二、填空题6．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．解析：因为sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②所以①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝－，所以sin(α＋β)＝－.答案：－7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________．解析：根据正弦定理可得sinBsinA＋sinAcosB＝0，即sinA(sinB＋cosB)＝0，显然sinA≠0，所以sinB＋cosB＝0，故B＝.答案：8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________；当BC＝1时，△ABC的面积等于________．解析：因为sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，所以a∶b∶c＝2∶3∶4.令a＝2t，b＝3t，c＝4t，则cosC＝＝－，所以sinC＝.当BC＝1时，AC＝，所以S△ABC＝×1××＝.答案：－三、解答题9．(2019·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．解：(1)因为a＝3c，b＝，cosB＝，由余弦定理，得cosB＝，即＝，解得c2＝.所以c＝.(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cosB＝2sinB.从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sinB＞0，所以cosB＝2sinB＞0，从而cosB＝.因此sin＝cosB＝.10．(2019·衡水中学检测)在△ABC中，顶点A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2b，csinB＝bcos.(1)求角C；(2)若AD是BC上的中线，延长AD至点E，使得DE＝2AD＝2，求E，C两点的距离．解：(1)在△ABC中，由csinB＝bcos及正弦定理得sinC·sinB＝sinB，因为sinB＞0，化简得sinC－cosC＝0，即tanC＝，因为0＜C＜π，所以C＝.(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝3b2，所以a2＝b2＋c2，故A＝，即△ABC是直角三角形．所以△ACD是等边三角形，且AD＝CD＝AC＝1，∠CAD＝，DE＝2，所以AE＝3.在△ACE中，CE2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos＝7，所以CE＝，即E，C两点的距离为.B级能力提升11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，a＋b＋c＝3，且csinAcosB＋asinBcosC＝a，则△ABC的面积为()A.或B.C.D.解析：由csinAcosB＋asinBcosC＝a及正弦定理，得sinCsinAcosB＋sinAsinBcosC＝sinA，在△ABC中，sinA≠0，从而sinCcosB＋sinBcosC＝sin(B＋C)＝sinA＝，所以A＝或A＝.若A＝，则a＞b且a＞c，所以2a＞b＋c与a＝1，且b＋c＝2矛盾．因此A＝.由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋...
