第八节曲线与方程(理)时间：45分钟分值：100分一、选择题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条直线C．两个点D．4条直线解析由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得∴或即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．答案C2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析 PM·PN＝0，∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．答案A3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2解析设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又 |PA|＝1，∴|PM|＝＝.即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案D4．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋y2＝1(y≠0)C.＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋＝1(y≠0)解析设P(x0，y0)、G(x，y)，由三角形重心坐标公式可得即代入＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．答案C5．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x>3)D.－＝1(x>4)解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．答案C6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)， OC＝λ1OA＋λ2OB，∴又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．答案A二、填空题7．已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点的距离之比为23，则点M的轨迹方程为____________________．解析可得双曲线的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，设点M(x，y)，则有＝，代入整理得x2＋y2＋26x＋25＝0.答案x2＋y2＋26x＋25＝08．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．解析设P(x1，y1)，PQ中点为M(x，y)， Q(0，－1)，∴∴ P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，∴y1＝2x＋1.∴2y＋1＝2(2x)2＋1，化简得y＝4x2.∴PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.答案y＝4x29．已知两定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P满足＝，则P点的轨迹方程是__________．解析设P(x，y)，则根据两点间距离公式，得|PA|＝，|PB|＝，又 ＝，∴＝.整理，得(x＋2)2＋y2＝4即为所求．答案(x＋2)2＋y2＝4三、解答题10.如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试求轨迹C的方程．解设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在．于是x≠1且x≠－1，此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有·＝4，化简可得4x2－y2－4＝0.故动点M的轨迹C的方程是4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．11．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)直线l：y＝x＋t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．解(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系， |PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2>|AB|，∴动点P的轨迹为椭圆，且a＝，c＝1，从而b＝1.∴曲线E的方程为＋y2＝1.(2)将y＝x＋t代入＋y2＝1，得3x2＋4tx＋2t2－2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴由①得t2<3，∴S四边形MANB＝|AB||y1－y2|＝|y1－y2|＝|x1－x2|＝≤.所以四边形MANB的面积最大值是.1．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条()A．过点P且平行于l的直线B．过点P且垂直于l的直线C．不过点P但平行于l的直线D．不过点P但垂直于l的直线解析由题意知f(x0，y0)≠0，又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0，∴直线f(x，y)＝0与直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0平行，且点P在直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0上．答案A2．如图所示，A是圆O内一定点...
