专题2.15超越方程反解难巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，因为，利用，得，所以=0，转化为．其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数． 函数图象与轴交于两个不同的点，（），∴，．两式相减得．．下解．即．令， ，∴，即．令，．又，∴，∴在上是増函数，则，从而知，故，即不成立．故不是的根．例2．设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间，的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【同步训练】1．已知函数（），且的导数为．（Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果．令，解得或．列表得：100增极大值减极小值增由表可知当时，取得极大值；当时，取得极小值．又当时，，，此时．因此当时，；当时，；当时，，因此实数的取值范围是．2．已知函数的图象的一条切线为轴．（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得值；（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后可令，利用单调性可得结论．且在上单调递减，在上单调递增，，当时，，记，记函数的导函数为，则3．已知函数（），．（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线．①求实数的值；②若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有成立．【思路引导】（1）①首先求函数的图象在处的切线，，，又因为切点为，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变量分离得，设，，研究的单调...
