【课时训练】双曲线一、选择题1．(2018广州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【答案】A【解析】依题意解得∴双曲线C的方程为－＝1.2．(2018福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由题意，知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.故选B.3．(2018庐江第二中学1月月考)已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于()A.B．1C.D．2【答案】B【解析】由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝.由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝.∴e1e2＝×＝1.4．(2018辽宁凌源联考)已知圆E：(x－3)2＋(y＋m－4)2＝1(m∈R)，当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距离是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离d＝，所以当m＝4时，圆E上的点与原点O的距离最短，为3－1＝2，即双曲线C的离心率e＝＝2.所以＝＝，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选C.5．(2018南昌联考)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(OM＋OF2)·F2M＝0(其中O为坐标原点)，且|MF1|＝|MF2|，则双曲线的离心率为()A.－1B.C.D.＋1【答案】D【解析】 F2M＝OM－OF2，∴(OM＋OF2)·F2M＝(OM＋OF2)·(OM－OF2)＝0，即OM2－OF22＝0.∴|OF2|＝|OM|＝c.在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得MF1⊥MF2. |MF1|＝|MF2|，∴可设|MF2|＝λ(λ>0)，|MF1|＝λ，得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c.∴|MF1|＝c，|MF2|＝c.∴根据双曲线定义，得2a＝|MF1|－|MF2|＝(－1)c.∴双曲线的离心率e＝＝＋1.16．(2018河南中原名校联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)【答案】B【解析】由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)， △ABE是锐角三角形，∴EA·EB>0.即EA·EB＝·>0，整理，得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0.∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)．又e>1，∴e∈(1,2)．故选B.二、填空题7．(2018辽宁沈阳月考)已知方程mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是__________．【答案】(－∞，0)∪(2，＋∞)【解析】 mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，∴m(2－m)＜0.解得m＜0或m＞2.8．(2018天津河西区质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．【答案】【解析】由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－e2.要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，即e的最大值为.三、解答题9．(2018石家庄模拟)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两个曲线的方程；(2)若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．【解】(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，则解得∴b＝6，n＝2.∴椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.10．(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x之间的阴影部分为W.区域W中动点P(x，y)到l1，l2的距离之积为1.(1)求点P的轨迹C的方程．(2)动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点．...
