课时分层作业(十五)向量数量积的运算律(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为()A．－B．C．－3D．3C[向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b＝|a||b|cos150°＝2××＝－3.故选C．]2．在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，CM＝2MB，则AM·BC＝()A．－B．－C．D．C[因为AM＝AC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AC＋AB，所以AM·BC＝·(AC－AB)＝×32－×22＋AB·AC＝＋×2×3cos＝.]3．已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．C[因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cosθ＝＝，因为θ∈[0,π]，所以θ＝.]4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么|a－4b|2＝()A．2B．2C．6D．12D[因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12.]5．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是()A．a·c－b·c＝(a－b)·cB．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C．|a|－|b|<|a－b|D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2ACD[根据向量数量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确．故选ACD．]二、填空题6．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，AC＝2a－6b，D为BC中点，则|AD|＝________.2[因为AD＝(AB＋AC)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD|2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，则|AD|＝2.]7．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，则OC·(OB－OA)＝________.－[由已知得|AB|＝，|AC|＝，则OC·(OB－OA)＝(OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝1×cos＋×＝－.]8．已知向量|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m,n∈R)，则＝________.3[|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，所以OA⊥OB，所以|AB|＝2＝2|OA|，所以∠OBC＝30°，又因为∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，故(mOA＋nOB)·(OB－OA)＝0，从而－mOA2＋nOB2＝0，所以3n－m＝0，即m＝3n，所以＝3.]三、解答题9．已知向量|a|＝1，|b|＝2.(1)若a与b的夹角为，求|a＋2b|；(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角．[解](1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×2×cos＋4×4＝1＋4＋16＝21，所以|a＋2b|＝.(2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3，所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3，所以6a2－a·b－b2＝3，所以6－1×2×cos〈a，b〉－4＝3，所以cos〈a，b〉＝－.因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ACB＝90°.[解]设圆心为O，连接OC，则|CO|＝|AB|，CO＝(CA＋CB)，所以|CO|2＝|AB|2，CO2＝(CA＋CB)2，得|AB|2＝(CA＋CB)2，即(CB－CA)2＝(CA＋CB)2，得CB2＋CA2－2CB·CA＝CB2＋CA2＋2CA·CB，所以4CB·CA＝0，CB·CA＝0，所以CB⊥CA，即∠ACB＝90°.11．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为()A．－B．－C．D．A[因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得e1·e2＝1×1×cos＝－，|a|＝＝＝，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a上投影的数量为＝＝－，故选A．]12．(多选题)对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是()A．a*b＝b*aB．λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)C．(a＋b)*c＝a*c＋b*cD．若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1.AD[当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0－b|≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝...
