一、长度类几何概型二、面积类几何概型培优点二十几何概型例1：若是从区间中任取的一个实数，则函数无零点的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方程无实解，则，即，又，∴，其构成的区域长度为，从区间中任取一个实数构成的区域长度为，则方程无实解的概率是．故选B．例2：（1）图形类几何概型例题2-1：如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方形的边长为，则圆的半径为，由几何概型的概率公式得，故答案为B．（2）线性规划类几何概型例2-2：小明一家订购的晚报会在下午之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午之间的任何一个时间随机地开始晚餐．①你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?②晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？【答案】①见解析；②．【解析】建立如图所示的坐标系．图中直线，，，围成一个正方形区域，该试验的所有结果与区域内的点一一对应，由题意知，每次结果出现的可能性是相同的，是几何概型．①作射线．晚报在晚餐前送达即，因此图中阴影部分表示事件“晚报在晚餐前送达”．而中空白部分则表示事件“晚报在晚餐开始后送到”．由图知事件发生的可能性大．②易求的面积为，而的面积为，由几何概型的概率公式可得．（3）利用积分求面积例2-3：如图，矩形的四个顶点依次为，，，，记线段、以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为（）三、体积类几何概型A．B．C．D．【答案】D【解析】阴影部分的面积是，矩形的面积是，∴点落在区域内的概率，故选D．例3：已知，，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球面内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为．【答案】【解析】如图，在三角形中，由已知可得，，可得，设三角形的外接圆的半径为，由，可得．再设的外心为，过作底面的垂线，且使，连接，则为三棱锥的外接球的半径，则球的体积为，，则该点落在三棱锥内的概率为．对点增分集训一、选择题1．已知地铁列车每分钟一班，在车站停分钟．则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于地铁列车每分钟一班，列车在车站停分钟，乘客到达站台立即乘上车的概率为，故选A．2．下图是年月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形的边长为，小正方形的边长为，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷个点，有个点落在中间的圆内，由此可估计的所似值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】大正方形的边长为，总面积为，小正方形的边长为，其内切圆的半径为，面积为；则，解得．故选A．3．已知椭圆的面积公式为，某同学通过下面的随机模拟实验估计的值过椭圆的左右焦点，分别作与轴垂直的直线与椭圆交于，，，四点，随机在椭圆内撒粒豆子，设落入四边形内的豆子数为，则圆周率的值约为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意得到，，将方程中的，，代入等式中得到．4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 红灯持续时间为秒，至少需要等待秒才出现绿灯，∴一名行人前秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待秒才出现绿灯的概率为．故选B．5．分别以正方形的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方形的边长为，那么图中阴影区域的面积，而正方形的面积，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率．6．路公共汽车每分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 公共汽车站每隔分钟有一辆车通过，当乘客在上一辆车开走后分钟内到达候车时间会超过分钟，∴乘客候车时间不超过分...
