专题检测（十五）立体几何中的向量方法A卷——夯基保分专练1．(2017·惠州三调)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积为8π，∠AOP＝120°.(1)求证：AG⊥BD；(2)求二面角PAGB的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知8π＝2×2π×AD，解得AD＝2.作PE⊥AB，垂足为E， OP＝OA＝2，∠AOP＝120°，∴∠EOP＝60°，PE＝，OE＝1，∴AE＝AO＋OE＝3.则A(0,0,0)，B(0,4,0)，D(0,0，2)，P(，3,0)， G是DP的中点，∴G.(1)证明： BD＝(0，－4,2)，AG＝.∴AG·BD＝·(0，－4,2)＝0，∴AG⊥BD，即AG⊥BD.(2) BP＝(，－1,0)，AG＝，PG＝，BG＝，∴BP·PG＝0，AG·BP＝0，∴BP是平面APG的法向量．设n＝(x，y,1)是平面ABG的法向量，由则解得n＝(－2,0,1)，则cos〈BP，n〉＝＝＝－.由图知，二面角PAGB为锐角，∴二面角PAGB的余弦值为.2．(2017·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点．所以M为PB的中点．(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PA＝PD，所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为底面ABCD是正方形，所以OE⊥AD.以O为原点，以OD，OE，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，BD＝(4，－4,0)，PD＝(2,0，－)．设平面BDP的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得y＝1，z＝.于是n＝(1,1，)．又平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)，所以cos〈n，p〉＝＝.由题知二面角BPDA为锐角，所以二面角BPDA的大小为60°.(3)由题意知M，C(2,4,0)，则MC＝.设直线MC与平面BDP所成角为α，则sinα＝|cos〈n，MC〉|＝＝.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.3．(2017·安徽名校阶段性测试)已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB⊥AD，且AB＝BC＝1，AD＝2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PA⊥PD.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)若直线AC与PD所成角为60°，求二面角APCD的余弦值．解：(1)证明： PH⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PH⊥AB. AB⊥AD，AD∩PH＝H，AD⊂平面PAD，PH⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， PH⊥平面ABCD，∴z轴∥PH.则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设AH＝a，PH＝h(0
0)．则P(0，a，h)．∴AP＝(0，a，h)，DP＝(0，a－2，h)，AC＝(1,1,0)． PA⊥PD，∴AP·DP＝a(a－2)＋h2＝0. AC与PD所成角为60°，∴|cos〈AC，DP〉|＝＝，∴(a－2)2＝h2，∴(a－2)(a－1)＝0， 00，∴h＝1，∴P(0,1,1)．∴AP＝(0,1,1)，AC＝(1,1,0)，PC＝(1,0，－1)，DC＝(1，－1,0)，设平面APC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，得y1＝－1，z1＝1，所以平面APC的一个法向量为n＝(1，－1,1)，设平面DPC的法向量为m＝(x2，y2，z2)．由即令x2＝1，得y2＝1，z2＝1，所以平面DPC的一个法向量为(1,1,1)．∴cos〈m，n〉＝＝. 二面角APCD的平面角为钝角，∴二面角APCD的余弦值为－.4．(2017·成都一诊)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD的中点，点R在线段BH上，且＝λ(λ＞0)．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B(该点记为P)，如图②所示．(1)若λ＝2，求证：GR⊥平面PEF；(2)是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由题意，可知PE，PF，PD三条直线两两垂直．∴PD⊥平面PEF.在图①中， E，F分别是AB，BC的中点，G为BD的中点，∴EF∥AC，GD＝GB＝2GH.在图②中， ＝＝2，且＝2，∴在△PDH中，...
