课时46椭圆1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.3.已知F1,F2是椭圆=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.34.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.设椭圆=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1,F2,P为这两条曲线的一个交点,则cos∠F1PF2的值为()A.B.C.D.-6.(2013浙江高考)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.B.C.D.7.F1,F2是椭圆=1的左、右两焦点,P为椭圆的一个顶点,若△PF1F2是等边三角形,则a2=.8.已知动点P(x,y)在椭圆=1上,若点A坐标为(3,0),||=1,且=0,则||的最小值是.9.(2013福建高考)椭圆Γ:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.10.如图所示,椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于D点,求tan∠BDC的值.11.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为b.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.12.(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.课时46椭圆1．答案:A解析:由题意知a=13,c=5,∴b2=a2-c2=144.又∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.2．答案:C解析:设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60°=,解得,故离心率e=.3．答案:A解析:根据椭圆定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.4．答案:B解析:点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.5．答案:B解析:由题意可知m-2=3+1,解得m=6.由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2).由题意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,|F1F2|=4,解得|PF1|=,|PF2|=.由余弦定理可得cos∠F1PF2=.6．答案:D解析:椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2.又∵四边形AF1BF2为矩形,∴∠F1AF2=90°,+|AF2|2=|F1F2|2,∴|AF1|=2-,|AF2|=2+,∴在双曲线C2中,2c=2,2a=|AF2|-|AF1|=2,故e=,故选D.7．答案:12解析:∵△PF1F2是等边三角形,∴2c=a.又∵b=3,∴a2=12.8．答案:解析:∵·=0,∴.∴||2=||2-||2=||2-1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,∴||min=.9．答案:-1解析:∵由y=(x+c)知直线的倾斜角为60°,∴∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°.∴∠F1MF2=90°.∴MF1=c,MF2=c.又MF1+MF2=2a,∴c+c=2a,即e=-1.10．解:由e=.由图知tan∠DBC=tan∠ABO=,tan∠DCB=tan∠FCO=.tan∠BDC=-tan(∠DBC+∠DCB)=-=-3.11．解:(1)由点F(-ae,0),点A(0,b),及b=a得直线FA的方程为=1,即x-ey+ae=0.∵原点O到直线FA的距离b=ae,∴·a=ea.解得e=.(2)(方法一)设椭圆C的左焦点F关于直线l:2x+y=0的对称点为P(x0,y0),则有解得x0=a,y0=a.∵P在圆x2+y2=4上,∴=4.∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C的方程为=1,点P的坐标为.(方法二)∵F关于直线l的对称点P在圆O上,又直线l:2x+y=0经过圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),∴F也在圆O上.从而+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C的方程为=1.∵F(-2,0)与P(x0,y0)关于直线l对称,∴解得x0=,y0=.故点P的坐标为.12．解:(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由题意知解得a=,b=1.因此椭圆C的方程为+y2=1.(2)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意-0,所以t=2或t=.当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由判别式Δ>0可得1+2k2>h2,此时x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|AB|==2.因为点O到直线AB的距离d=,所以S△AOB=|AB|d=×2=|h|.又S△AOB=,所以|h|=.③令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④又=tt()=t(x1+x2,y1+y2)=,因为P为椭圆C上一点,所以t2=1,即t2=1.⑤将④代入⑤得t2=4或t2=,又知t>0,故t=2或t=.经检验,适合题意.综上所得t=2或t=.
