专题7.5空间直角坐标系与空间向量【考试要求】1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.【知识梳理】1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用1设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝【微点提醒】1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)对任意两个空间向量a，b，则a·b＝0，则a⊥b.()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.()(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×【解析】对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确.【教材衍化】2.(选修2－1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是()2A.－a＋b＋cB.a＋b＋cC.－a－b＋cD.a－b＋c【答案】A【解析】由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.3.(选修2－1P118A6改编)已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.【答案】【解析】a＋b＝(cosθ＋sinθ，2，cosθ＋sinθ)，a－b＝(cosθ－sinθ，0，sinθ－cosθ)，∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是.【真题体验】4.(2018·济宁一中月考)在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直【答案】B【解析】由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与C...
