第八章平面解析几何8.5椭圆练习理[A组·基础达标练]1．[2016·韶关调研]已知椭圆与双曲线－＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于()A.B.C.D.答案B解析由双曲线方程求出焦距c2＝4＋12＝16⇒c＝4,2c＝8，e＝＝＝＝，故选B.2．[2015·广州二模]设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案D解析如右图所示，PF1的中点为M，O为中点⇒OM綊PF2，∠PF1F2＝30°.设|F1F2|＝2c，|PF1|＝，|PF2|＝，e＝＝＝＝.故选D.3．P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积为()A.B．4(2－)C．16(2＋)D．16答案B解析由题意知c＝1；|PF1|＋|PF2|＝2，|F1F2|＝2，在△F1PF2中有：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos30°＝|F1F2|2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－(2＋)|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)，△F1PF2的面积为S＝|PF1|·|PF2|sin30°＝4(2－)．故选B.4．[2016·广东四校联考]已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝，b2＝∴c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.5．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案A解析由题意可得c2＝9－4＝5，又已知椭圆的焦点在x轴，故所求椭圆方程可设为＋＝1(λ>0)，代入点A的坐标得＋＝11解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求的椭圆方程为＋＝1.6．[2016·广安月考]若点O和点F分别是椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8答案C解析由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP·FP取得最大值6.7．[2015·长春调研]已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，则△F1AB的周长为________．答案8解析由已知得△F1AB的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8.8．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值是________．答案k>或0k时，e＝＝∈，即<<1⇔1<4－k<4，即0>0⇒k>.9．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为________．答案解析如图所示，以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的坐标系．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0) D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝，∴CD＝1，DB＝1，∴C(1,1)． 2a＝4，∴a＝2，把C(1,1)代入椭圆的标准方程得＋＝1，∴＝1－＝，∴b2＝，c2＝，∴c＝，∴2c＝.10．[2014·课标全国卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根据c＝及题设知M，若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2＝＝＝，得2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，－2(舍去)．故C的离心率为.2(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.[B组·能力提升练]1．[2015·海淀期末]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.∪答案D解析当点P位于椭圆的两个短轴端点时，△F1F2P为等腰三角形，此时有2个．若点P不在短轴的端点时，要使△F1F2P为等腰三角形，则有PF1＝F1F2＝2c或PF2＝F1F2＝2c.不妨设PF1＝F1F2＝2c.此时PF2＝2a－2c.所以有PF1＋F1F2>PF2，即2c＋2c>2a－2c，所以3c>a，即>，又当点P不在短轴上，所以PF1≠BF1，即2c≠a，所以≠.所以椭圆的离心率满足
