满分示范课——立体几何立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系．建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．【典例】(满分12分)(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．[规范解答](1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.由于DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)以D为坐标原点，Combin的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为CD的中点．由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，Combin＝(－2，1，1)，Combin＝(0，2，0)，Combin＝(2，0，0)．设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n＝(1，0，2).又Combin是平面MCD的法向量，因此cos〈n，Combin〉＝＝，sin〈n，Combin〉＝.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值为.高考状元满分心得1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全．如第(1)问中BC⊥DM；在证明平面AMD⊥平面BMC时，只写出DM⊥平面BMC，忽视条件DM⊂平面AMD，均导致扣分．2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出线面、面面垂直证明过程中的三个条件，否则不得分；第(2)问中不写出公式cos〈n，Combin〉＝而得出余弦值则要扣1分．3．正确计算是得满分的保证：如第(2)问中三棱锥MABC体积最大时，点M的坐标，求平面法向量坐标，以及cos〈n，Combin〉的值，否则题目不能得分．[解题程序]第一步：由面面垂直性质，证BC⊥平面CMD，与BC⊥DM，第二步：根据面面垂直判定，证平面AMD⊥平面BMC，第三步：建立空间坐标系，求相应点的坐标，第四步：计算平面MAB的法向量，求二面角的正弦值，第五步：检验反思，规范解题步骤．[跟踪训练]1.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.(2)解：如图，以O为坐标原点，Combin的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2).Combin＝(0，2，2)．取平面PAC的一个法向量Combin＝(2，0，0)．设M(a，2－a，0)(0≤a≤2)，则Combin＝(a，4－a，0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由Combin·n＝0，Combin·n＝0得可取y＝a，得平面PAM的一个法向量为n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈Combin，n〉＝.由已知可得|cos〈Combin，n〉|＝cos30°＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)或a＝.所以n＝(－，，－)．又Combin＝(0，2，－2)，所以cos〈Combin，n〉＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.2.(2019·广州调研)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1＝4，AB＝2，AC＝2，∠BAC＝45°，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点．(1)证明：BC⊥B1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角MB1CA的余弦值．(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝4＋8－2×2×2×cos45°＝4，所以BC＝2，则有AB2＋BC2＝8＝AC2，所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.又因为BC⊥BB1，BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，又B1M⊂平面ABB1A1，故BC⊥B1M.(2)解：由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥CABB1M和四棱锥B1A1MCC1.由(1)知四棱锥C...
