8.2平面的性质与空间两条直线的位置关系考点一平面的基本性质1.下列说法正确的是()A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.四边形是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面2.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则()A.P∈cB.Pc∉C.c∩a=∅D.c∩β=∅3.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF∩HG=P,则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形是()A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③【解析】1.选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.C错误,四边形不一定是平面图形.D正确,两条相交直线可以确定一个平面.2.选A.如图,因为a∩b=P,所以P∈a,P∈b,因为α∩β=a,β∩γ=b,所以P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,所以P∈c.13.选B.如图所示,因为EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.4.选D.在图①中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S四点共面;在图中③分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面.在②图中过点P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证两平面重合.(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.【秒杀绝招】排除法解T4,在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,可排除A,B,C,直接选D.考点二异面直线所成的角【典例】1.(2018·全国卷II)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.B.C.D.2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.2【解题导思】序号联想解题1画出图形,由AB∥CD,联想到AE与CD所成角为∠EAB,解直角三角形.2画出图形,图中没有与AB1,BC1平行的直线,联想到作辅助线.【解析】1.选C.因为CD∥AB,所以∠EAB即为异面直线AE与CD所成角,连接BE,在直角三角形ABE中,设AB=a,则BE=a,所以tan∠EAB==.2.选C.如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=,AB1=,则MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形.在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1×=7,即AC=.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.在△MQP中,可知MP==.3在△PMN中,cos∠PNM===-,又异面直线所成角的范围为,故所求角的余弦值为.【一题多解】选C.把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角).由题意可知BC1=,BD==,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,所以cos∠BC1D==.求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求:解三角形,求出所作的角.1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.如图,可补成一个正方体,4所以AC1∥BD1.所以BA1与AC1所成的角为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形,所以∠A1BD1=60°.即BA1与AC1成60°的角.2.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D垂直于圆柱下底面,所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案:考点三空间两条直线的位置关系5命...
