专题15三角形的五心与向量一【知识点】1.三角形的重心：三角形各边中线的交点2.三角形的垂心：三角形各边高线的交点3.三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点4.三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点5.三角形的中心：正三角形四心合一为中心二．【学习目标】1．理解三角形五心的概念．2．掌握五心的向量表示．3．掌握五心的向量表示的轨迹问题．三．【题型方法】（一）三角形的内心例1.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的()A．内心B．垂心C．重心D．外心【答案】A【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量的方向与的角平分线一致又，向量的方向与的角平分线一致一定通过的内心故选：．练习1.已知满足，，则为()A．顶角为的等腰三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为的直角三角形D．等边三角形【答案】D【解析】设，则，而，所以是的角平分线，又，所以为等腰三角形，，所以是等边三角形.练习2.O是平面内的一定点，A,B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】 、分别表示向量、方向上的单位向量，∴的方向与∠BAC的角平分线重合，又 可得到λ（）∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心故选：A．（二）三角形的重心例2.已知中，向量，则点的轨迹通过的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心【答案】D【解析】设为中点，则，即点在中线上可知点轨迹必过的重心本题正确选项：练习1．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】B【解析】设,因为G为的重心，所以,即.由于三点共线，所以，即.因为，，所以，即有，解之得或.故选B.练习2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若=,则O点是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】C【解析】作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，则BG＝CG，（平行四边形对角线互相平分），∴，又 ，可得：，∴，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线．∴O为三角形ABC的重心．故选：C．练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的()A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】 ＝设它们等于t，∴而表示与共线的向量,而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C．练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．【答案】重.【解析】设D为BC的中点，则，于是有，，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P的轨迹一定通过的重心．例4.是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．【答案】重心【解析】 动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点，∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为重心．（三）三角形的外心例3.已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于()A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以点为的重心，延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心，所以，则，同理可得，为等边三角形，，故选B.练习1.已知，点，为所在平面内的点，且，，，则点为的()A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】因为，所以，即又因为，所以，即所以即所以,所以，同理所以为的外心。故选B.练习2.在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心【答案】D【解析】设为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：练习3.已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.【答案】【解析】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.练习4.已知O是△ABC外接圆的圆心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，则cos∠BAC=______．【答案】【解析】如图所示，过O点分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则AD=DB，AE=EC．则，则因为=+，所以，即18=36...
