【高考领航】2016届高考数学二轮复习限时训练19立体几何理(建议用时45分钟)1．(2016·长春市高三模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC＝4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且＝λ.(1)求证：平面ADM⊥平面PBC；(2)是否存在实数λ，使得二面角PDEB的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：如图取PB的中点N，连接MN、AN.∵M是PC的中点，N是PB的中点，∴MN∥BC，MN＝BC＝2，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN＝AD，∴四边形ADMN为平行四边形．∵AP⊥AD，AB⊥AD，且AP∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN.∵AP＝AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC.(2)解：存在符合条件的λ.以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，设E(2，t,0)，从而PD＝(0,2，－2)，DE＝(2，t－2,0)，则平面PDE的一个法向量为n1＝(2－t,2,2)，又平面DEB即为平面xAy，其一个法向量为n2＝(0,0,1)，则cos〈n1，n2〉＝＝＝，解得t＝3或t＝1，故λ＝3或λ＝.2．(2015·南宁市高中毕业测试)如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，PC＝2.(1)试确定点F的位置，使得EF∥平面PDC；(2)若BF＝BP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值．解：(1)取线段BP的中点F，取PC的中点O，连接FO，DO，∵F，O分别为BP，PC的中点，∴FO綊BC.∵四边形ABCD为平行四边形，ED∥BC，且DE＝BC，∴FO∥ED且ED＝FO，∴四边形EFOD是平行四边形，∴EF∥DO.∵EF⊄平面PDC，DO⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系．在△PDC中，由PD＝4，PC＝2，∠CDP＝120°，及余弦定理，得CD＝2，则D(0,0,0)，C(2,0,0)，B(2,0,3)，P(－2,2，0)，A(0，0,3)，设F(x，y，z)，则BF＝(x－2，y，z－3)＝BP＝，∴F.AF＝.设平面PBC的法向量n1＝(a，b，c)，CB＝(0,0,3)，PC＝(4，－2，0)，由得令y＝1，可得n1＝.cos〈AF，n1〉＝＝，∴直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.3．(2016·山西省高三质检)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝，CD＝2.(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足CH＝2HD，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值．解析：(1)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1，可得BD＝.又BC＝，CD＝2，∴BC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC.(2)解：由(1)可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，∴tan∠BPC＝，∴PB＝，PD＝1.由CH＝2HD及CD＝2，可得CH＝，DH＝.以点D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，H.设平面HPB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即取y1＝－3，则n＝(1，－3，－2)．设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝1，则m＝(1,1,2)．又cos〈m，n〉＝＝－.故二面角HPBC的余弦值为.4.已知四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为2，求a∶b的值．(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，从而平面PBD⊥平面PAC.(6分)(2)解法一：过O作OH⊥PM交PM于H，连接HD.因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM，所以∠OHD为OPMD的平面角．(8分)又OD＝a，OM＝，AM＝，且＝，从而OH＝·＝，tan∠OHD＝＝＝2，所以9a2＝16b2，即＝.解法二：如图，以A为原点，AD，AP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0，b)，D(0，a,0)，M，O.(8分)从而PD＝(0，a，－b)，PM＝，OD＝.因为BD⊥平面PAC，所以平面PMO的一个法向量为OD＝.设平面PMD的法向量为n＝(x，y，z)，由PD⊥n，PM⊥n得PD·n＝ay－bz＝0，PM·n＝ax＋ay－bz＝0，取x＝b，y＝b，z＝a，即n＝.设OD与n的夹角为θ，则二面角OPMD大小与θ相等，从而tanθ＝2，得cosθ＝，cosθ＝＝＝，从而4b＝3a，即a∶b＝4∶3.
