高考数学复习点拨 从课本一道题目谈抛物线定义几点应用VIP免费

从课本一道题目谈抛物线定义几点应用《课标人教A版教材选修1-1》课本有这样一道练习题：【源题】抛物线)0(22ppxy上一点M到焦点的距离是)2(paa，则点M到准线的距离是，点M的横坐标是.【剖析】：此练习题旨在巩固抛物线的定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的集合.利用定义可以很快得出：点M到准线的距离也是a，而准线方程是2px，故点M到准线的距离a可以表示为：2pxM，所以2paxM【应用】根据定义,抛物线上的点到焦点的距离可转化为点到准线的距离.利用此转化可以给我们的解题带来极大的方便，试看下面几例：例题、抛物线xy122上与焦点的距离等于9的点的坐标是解析：此题目解决可以直接设点，然后利用方程思想求得点的坐标，但是计算量较大.利用转化的思想可以减少计算量.设待求点坐标为),(00yx，由抛物线准线方程3x得抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线距离:930x，解得60x，代入抛物线方程得260y，满足条件的点为)26,6(),26,6(.变式1、过抛物线xy122焦点作直线与抛物线交于BA、两点,且线段AB中点M的横坐标是9,则AB=.解析:过MBA、、三点向抛物线准线作垂线分别交准线于111MBA、，三点,易知1MM是直角梯形11ABBA的中位线,且12)3(91MM,242111MMBBAA,24,,1111BBAABFAFABBBBFAAAF.变式2、过抛物线)0(22ppxy焦点作直线与抛物线交于BA、两点,以线段AB为直径的圆与抛物线的准线位置关系是解析：根据变式1，易知以线段AB为直径的圆的圆心（即AB中点）到抛物线的准线的距离等于线段AB长度的一半（即圆的半径），故以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.变式3、已知A、B为抛物线xy122上的动点，,8AB求AB的中点P到y轴距离的最小值.解析：如图所示：用心爱心专心分别过A、B、P作准线l的垂线，设垂足为1111PPPBA，，，交y轴于Q点，连接BFAF、，由抛物线定义可知：BFAFBBAABBBFAAAF1111，，，又四边形BABA11为梯形，1PP为中位线，ABBFAFBBAAPP212121111）（）（,421AB1343111PPQPPPPQAB的中点到y轴距离的最小值为1.变式4、已知抛物线xy122焦点为F，点P是抛物线上一动点，定点A（4，1），则PFPA的最小值是解析：点P是抛物线上一动点,由抛物线定义得:点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离,本题可以转化为求在抛物线上点到定点A的距离与到准线距离和最小值.由两点之间线段最短,过点A向准线作垂线,点A到垂直的距离即为最小.又准线方程为3x,PFPA最小值为:7)3(4【小结】本文从课本一个练习题出发，逐层深入地探究了抛物线定义应用的几个案例.在整个解题过程中都巧妙地运用了转化的思想，充分地利用了抛物线的定义，使得问题的解决变得简单、方便.希望同学们在学习过程中做个有心人，加强对课本核心概念的理解，重视概念学习.在解题的过程养成用定义去思考问题的好习惯，学会用化归的思想去转化命题.用心爱心专心