第6节空间向量的运算及应用【选题明细表】知识点、方法题号夹角和距离5,7,8,10空间向量的线性运算6,13共线、共面向量定理及应用1,9空间向量的数量积及应用2,3,4,11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(A)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②错误;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.2.在空间四边形ABCD中,·+·+·等于(B)(A)-1(B)0(C)1(D)不确定解析:令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.3.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(A)(A)(1,1,1)(B)(1,1,)(C)(1,1,)(D)(1,1,2)解析:设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,),1所以=(0,0,a),=(-1,1,).因为cos<,>=,所以=a·,所以a=2.所以E的坐标为(1,1,1).4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(C)(A)a2(B)a2(C)a2(D)a2解析:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.=(a+b),=c,所以·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.5.导学号38486158如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为(A)(A)0(B)(C)(D)解析:设=a,=b,=c,由已知条件
==,且|b|=|c|,2·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,所以cos<,>=0.6.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=.(用a,b,c表示).解析:=+=+=+×(+)=++=+(-)+(-)=++=a+b+c.答案:a+b+c7.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=.解析:由条件知|a|=,|b|=3,a·b=6-λ.所以cos===.整理得55λ2+108λ-4=0,解得λ=-2或λ=.答案:-2或8.如图所示,已知二面角αlβ的平面角为θ(θ∈(0,)),AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为.解析:=++,所以=+++2·+2·+2·=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cosθ,所以||=,即AD的长为.3答案:能力提升(时间:15分钟)9.导学号38486159O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点(B)(A)一定不共面(B)一定共面(C)不一定共面(D)无法判断解析:因为=++,且++=1.所以P,A,B,C四点共面.10.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,,),所以||==a.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是.解析:如图所示,由题意,设=λ,其中λ∈[0,1],·=·(+)=·(+λ)=+λ·=1+λ·(-)=1-λ∈[0,1].因此·的取值范围是[0,1].答案:[0,1]412.(2017·江苏徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当·取得最小值时,的坐标是.解析:因为点Q在直线OP上,所以设点Q(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-.即当λ=时,·取得最小值-.此时=(,,).答案:(,,)13.如图,已知平行六面体ABCDA′B′C′D′,E,F,G,H分别是棱A′D′,D′C′,C′C和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.证明:取=a,=b,=c,则=++=+2+=b-a+2a+(++)=b+a+(b-a-c-a)=b-c,所以与b,c共面,即E,F,G,H四点共面.14.已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.(2)令=t(t∈R),所以=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),5若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.所以-3+t=-,-1-t=-,4-2t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为(-,-,).6
