【课时训练】椭圆一、选择题1．(2018湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1【答案】A【解析】依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.2．(2018保定模拟)已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为()A．－21B．21C．－或21D.或－21【答案】D【解析】当9>4－k>0，即4>k>－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴＝，解得k＝.当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，∴＝，解得k＝－21，故选D.3．(2018青岛模拟)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设P(x0，y0)，则×＝－，化简，得＋＝1，则＝，e＝＝＝，故选D.4．(2018百校联盟TOP20联考)根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆．地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点．已知月球轨道上近地点高度约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点F1，F2构成的三角形PF1F2的面积约为480(万千米)2，∠F1PF1＝，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【答案】B【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义和余弦定理可得焦点三角形的面积S＝b2tan＝b2＝480，解得b2＝40×36. 月球轨道上近地点高度为36，∴a－c＝36. b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝40×36，∴a＋c＝40，∴a＝38.故所求的标准方程为＋＝1.故选B.5．(2018贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.C．2D．2【答案】D【解析】设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意，知当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1.而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.6．(2018济南质检)设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得PO·PA2＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.1C.D.【答案】D【解析】A1(－a,0)，A2(a,0)，设P(x，y)，则PO＝(－x，－y)，PA2＝(a－x，－y)， PO·PA2＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0.∴y2＝ax－x2>0，∴0
.又0<<1，∴<<1.故选D.二、填空题7．(2018西安质量检测)若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为点A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为________________．【答案】＋＝1【解析】设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0. m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0. 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4.∴a2＝b2＋c2＝20.∴椭圆的方程为＋＝1.8．(2018南昌一模)已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．【答案】7【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|2PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.9．(2018石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是____________．【答案】【解析】设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则F1P＝(x＋，y)，F2P＝(x－，y)． ∠F1PF2为钝角，∴F1P·F2P<0，即x2－3＋y2<0.① y2＝1－，代入①，得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<，解得－b>0)的左顶点A(－a,0)作直线...
