课时作业21两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝(B)A．1B.C.D．－解析：sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝.2．已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于(C)A.B.C.D.解析：由3sin2α＝2cosα，得sinα＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝＝.3．设tan＝，则tan＝(C)A．－2B．2C．－4D．4解析：∵tan＝＝＝，∴tanα＝，∴tan＝＝－4.4．(2019·成都诊断性检测)已知tanα＝，α∈(0，π)，则cos(α＋)的值为(A)A.B.C.D.解析：因为tanα＝，α∈(0，π)，所以sinα＝，cosα＝，故cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝，故选A.5．(2019·山西长治二模)已知sinα＝，α∈，则cos的值为(A)A.B.C.D.解析：∵sinα＝，α∈，∴cosα＝，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝＝，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝，∴cos＝×－×＝.故选A.6．(2019·广东揭阳二模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f′(α)＝3f(α)，则tan2α＝(A)A．－B．－C.D.解析：由题意可得f′(x)＝cosx＋sinx，∴f′(α)＝cosα＋sinα.由f′(α)＝3f(α)，得cosα＋sinα＝3sinα－3cosα，∴2sinα＝4cosα，即tanα＝2.∴tan2α＝＝＝－，故选A.7．若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ＝(B)A.B．－C.D．－解析：f(x)＝5cosx＋12sinx＝13cosx＋sinx＝13sin，其中sinα＝，cosα＝，由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，那么cosθ＝cos＝cos＝－sinα＝－，故选B.二、填空题8．已知cosθ＝－，θ∈，则sin的值为.解析：由cosθ＝－，θ∈得sinθ＝－＝－，故sin＝sinθcos－cosθsin＝－×－×＝.9．计算＝.解析：＝＝＝＝.10．(2019·洛阳高三统考)已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝.解析：由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×()2＝.11．若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为0.解析：∵tanα＋＝，∴(tanα－3)·(3tanα－1)＝0，∴tanα＝3或.∵α∈，∴tanα>1，∴tanα＝3，sin＋2coscos2α＝sin2α＋cos2α＋＝(sin2α＋2cos2α＋1)＝＋2＋1＝＝0.三、解答题12．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P(－，－)得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P(－，－)得cosα＝－，由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.13．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解：(1)因为tan＝，所以sinα＝sin＝2sincos＝＝＝＝.(2)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.又0<α<<β<π，所以0<β－α<π.由cos(β－α)＝，得0<β－α<.所以sin(β－α)＝，所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝×＋×＝＝.由<β<π得β＝π.14．(2019·河北、河南两省重点中学联考)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋与β的终边相同，则的值为(B)A.B.C.D.解析：已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanα·tanβ，即b(1＋tanα·tanβ)＝a·(tanβ－tanα)，∴＝＝tan(β－α)，又∵α＋与β的终边相同，即β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，∴tan(β－α)＝tan＝tan＝，即＝，故选B.15．(2019·浙江省温州市模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若－<α<0，f(α)＝，求sin2α的值．解：(1)∵函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋＝sin(2x＋)＋，∴函数f(x)的最小正周期为＝π.(2)若－<α<0，则2α＋∈(－，)，∴f(α)＝sin(2α＋)＋＝，∴sin(2α＋)＝，∴2α＋∈(0，)，∴cos(2α＋)＝＝，∴sin2α＝sin(2α＋－)＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝·－·＝.16．(2019·洛阳市高三统考)已知函数f(x)＝－k在(0，＋∞)上有两个不同的零点α，β(α<β)，则下列结论正确的是(D)A．tan(α＋)＝B．tan(α＋)＝C．tan(β＋)＝D．tan(β＋)＝解析：∵函数f(x)＝－k在(0，＋∞)上有两个不同的零点α，β(α<β)，∴方程＝k在(0，＋∞)上有两个不同的根α，β(α<β)，即方程|cosx|＝kx在(0，＋∞)上有两个不同的根α，β(α<β)，∴函数y＝|cosx|的图象与函数y＝kx的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，此时函数y＝|cosx|的图象与函数y＝kx的图象在点(β，－cosβ)处相切．对于函数y＝－cosx，y′＝sinx，∴k＝sinβ＝，∴tanβ＝，∴tan(β＋)＝＝＝，故选D.
