第14讲抽象函数的图像和性质问题的处理方法【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象.【方法点评】题型一抽象函数的定义域解题步骤利用已知条件得到关于的不等式，解不等式，得到抽象函数的定义域.【例1】已知函数的定义域是，求函数的定义域.【点评】这类问题的一般形式是：已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.【反馈检测1】若函数的定义域为，求函数的定义域.题型二抽象函数的值域解题步骤一般利用抽象函数的单调性来分析解答.【例2】设函数定义于实数集上，对于任意实数，总成立，且存在，使得，求函数的值域.【点评】在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【反馈检测2】已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值.题型三抽象函数的奇偶性解题步骤利用奇偶函数的定义判断证明，多用赋值法.【例3】已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数的奇偶性.【点评】（1）抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）要判断抽象函数的奇偶性，多用赋值法，给已知的等式中的变量取恰当的值，如等，有时需要多次赋值，才能达到解题目标.【反馈检测3】定义域为的函数满足：对于任意的实数都有成立，且当时恒成立.(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明为减函数；若函数在上总有成立，试确定应满足的条件.题型四抽象函数的单调性解题步骤一般利用函数单调性的定义分析解答.【例4】设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数，有，求证：在上为增函数.设，则所以因为所以所以在上为增函数.【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的，同样利用函数的单调性的定义.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，这是解答的关键，想方设法把变量或，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:；(2)证明:在上单调递减.【反馈检测5】函数对于有意义，且满足条件减函数.（1）证明：；（2）若成立，求的取值范围.【例5】设是定义在上的增函数，且，若，则.【点评】（1）抽象函数的性质往往是从常见的正比例函数、指数函数、对数函数和幂函数中抽象出来的，所以在解答抽象函数的客观题时，可以根据抽象函数的性质寻找对应的函数模型，再利用具体函数来解答.(2)常见的模型有：，，.【反馈检测6】已知函数满足，且对任意都有，记.题型五抽象函数的周期性解题步骤一般先结合已知猜想函数的周期，再利用周期性的定义证明.【例6】已知函数是定义域为的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值；(2)证明:函数是周期函数；(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.(3)当时，当时，，当时，，∴图象如下：【点评】对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明.【反馈检测7】已知函数满足，若，试求.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第14讲：抽象函数的图像和性质问题的处理方法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：.所以函数的定义域为【反馈检测2答案】（1）；（2）【反馈检测2详细解析】（I）令，由(3),则由对任意，总有（II）任意且，则【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）.【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）.【反馈检测5详细解析】(1)证明：令，则，故（2） ，令，则，∴∴...
