第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题[基础题组练]1.(2020·河南新乡二模)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3，6)，圆C2：x2＋y2－6x＋8＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|＋3|QM|的最小值为()A．12＋4B．16＋4C．16＋6D．20＋6解析：选C.设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则36＝2p×3，则2p＝12，所以抛物线的方程为y2＝12x，设抛物线的焦点为F，则F(3，0)，准线方程为x＝－3，圆C2：x2＋y2－6x＋8＝0的圆心为(3，0)，半径为1，由直线PQ过抛物线的焦点，则＋＝＝.|PN|＋3|QM|＝|PF|＋1＋3(|QF|＋1)＝|PF|＋3|QF|＋4＝3(|PF|＋3|QF|)＋4＝3＋4≥3(4＋2)＋4＝16＋6.故选C.2．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是()A．(10，14)B．(12，14)C．(10，12)D．(9，11)解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4，6)，可得6＋xP∈(10，12)，1故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.3．(2020·湖南湘潭一模)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，点M在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)由题意知，椭圆的另一个焦点为(－，0)，所以点M到两焦点的距离之和为＋＝4.所以a＝2.又因为c＝，所以b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.而kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝.由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1，所以k≥－.又由Δ＞0，得16(4k2－m2＋1)＞0，所以4k2－4k＞0，解得k＜0或k＞1，综上，直线l的斜率的取值范围为∪(1，＋∞)．4．(2020·银川模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l：x＝a2交x轴于点A，且AF1＝2AF2.(1)试求椭圆的方程；(2)过点F1，F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．解：(1)由题意知，|F1F2|＝2c＝2，A(a2，0)，因为AF1＝2AF2，所以F2为线段AF1的中点，则a2＝3，b2＝2，所以椭圆方程为＋＝1.(2)当直线DE与x轴垂直时，|DE|＝＝，此时|MN|＝2a＝2，四边形DMEN的面积S＝＝4.同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S＝＝4.当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE：y＝k(x＋1)(k≠1)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，代入椭圆方程，消去y可得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|x1－x2|＝，所以|DE|＝|x1－x2|＝.同理|MN|＝＝，2所以四边形DMEN的面积S＝＝××＝，令u＝k2＋，则S＝4－.因为u＝k2＋≥2，当k＝±1时，u＝2，S＝，且S是以u为自变量的增函数，则≤S＜4.综上可知，≤S≤4，故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为.[综合题组练]1．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点．以线段PF1为直径的圆经过F2，且9PF1·PF2＝1.(1)求椭圆E的方程；(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．解：(1)依题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.因为椭圆E的离心率等于，所以c＝a，b2＝a2－c2＝.因为以线段PF1为直径的圆经过F2，所以PF2⊥F1F2.所以|PF2|＝.因为9PF1·PF2＝1，所以9|PF2|2＝＝1.由，得，所以椭圆E的方程为＋x2＝1.(2)因为直线x＝－与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－相交，所以直线l不可能与x轴垂直，所以设直线l的方程为y＝kx＋m.由，得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0.因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，所以Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，即m2－k2－9<0...
