满分示范课——函数与导数函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理．【典例】(满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx－.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．[规范解答](1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1(e0，g＝e－1<0，满足题设，若b>0，令g′(x)＝－e－x＋b＝0，得x＝－lnb.所以g(x)在(－∞，－lnb)上单调递减；在(－lnb，＋∞)上单调递增，则g(x)min＝g(－lnb)＝elnb－blnb＝b－blnb≤0，所以b≥e.综上所述，实数b的取值范围是(－∞，0)∪[e，＋∞)．(2)证明：易得f′(x)＝－，则由题意，得f′＝e－ae2＝－e，解得a＝.所以f(x)＝lnx＋，从而f＝1，即切点为.将切点坐标代入ex＋y－2＋b＝0中，解得b＝0.所以要证f(x)≥＋b，只需证明lnx＋≥，即xlnx≥－.令φ(x)＝xlnx，则φ′(x)＝lnx＋1.由φ(x)>0，得x>；令φ′(x)<0，得0
