专题30推理与证明一、选择题1.【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】故选D。【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。2.【2015高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（）A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【答案】．【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即或时命题成立，由此可排除、、，故选．【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案，由于时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除、，又当时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除．3.【2014山东.理4】用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程没有实根B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根D.方程恰好有两个实根【答案】4.【2015高考浙江，理6】设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，，（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立【答案】A.【解析】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于的区域，故命题②也正确，故选A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合，，，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.5.【2014年.浙江卷.理8】记，，设为平面向量，则（）A.B.C.D.答案：Ｄ解析：根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于，故，故选Ｄ考点：向量运算的几何意义.6.【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人【答案】B【解析】试题分析：用、、分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件、、中都最多只有一个元素，所以只有，，满足条件，故选B.考点：合情推理，中等题.7.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高...
