第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．已知向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，则下列结论正确的是()A．a∥bB．(2a－b)⊥bC．|a|＝|b|D．a·b＝3解析：选B.对于A，1×2－0×1≠0，错误；对于B，2a－b＝(2，0)，b＝(0，2)，则2×0＋0×2＝0，所以(2a－b)⊥b，正确；对于C，|a|＝，|b|＝2，错误；对于D，a·b＝1×0＋1×2＝2，错误．2．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－B．－C．D．解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.3．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝()A.B.C．2D.解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.4．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1，2]B．[2，4]C．D．解析：选D.由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.5．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.答案：－6．(2019·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为b在a上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.答案：7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝＝5.(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是.8．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为AB与BC的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，所以S△ABC＝×4×3×＝3.[综合题组练]1．(2019·郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，BE＝2EC，点F在边CD上．若AB·AF＝3，则AE·BF的值为()A．0B．C．－4D．4解析：选C.BE＝2EC⇒|BE|＝|BC|＝.设AB与AF的夹角为α，AB·AF＝3⇒|AF|cosα＝1⇒|DF|＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此BF＝(，－2)，AE·BF＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C.2．(2019·陕西质检(一))已知P为△ABC所在平面内一点，AB＋PB＋PC＝0，|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，则△ABC的面积等于()A．B．2C．3D．4解析：选B.由|PB|＝|PC|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又AB＋PB＋PC＝0，所以AB＝－(PB＋PC)＝－2PD，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|PB|＝2，|PD|＝1可得|BD|＝，则|BC|＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.3．(2019·武汉市武昌区调研考试)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.因为|DP|＝|BQ|，...
