满分示范课——立体几何立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托．分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是重在“转化”与化归．着重考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理与直观想象．【典例】(满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥QABP的体积．[规范解答](1)由已知得∠BAC＝90°，即BA⊥AC，又BA⊥AD，且AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设，可得DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABP＝·QE·S△ABP＝×1××3×2×sin45°＝1.高考状元满分心得1．写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中缺少AC∩AD＝A扣分，忽视AB⊂平面ABC也要扣分．2．写明得分关键：如第(1)问明确AB⊥平面ACD，第(2)问中QEDC，DC⊥平面ABC，否则导致失分．3．正确计算是得分的保证：准确计算QE＝1，及VQ-ABP＝1才能得满分．[解题程序]第一步：利用折叠前后位置关系，判定AB⊥平面ACD.第二步：根据面面垂直判定定理，证平面ACD⊥平面ABC.第三步：证明QE⊥平面ABC，计算棱锥QABP的高．第四步：代入体积公式，求三棱锥QABP的体积．第五步：反思检验，规范解题步骤．[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E-BB1C1C的体积．(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.2.(2018·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，且PD⊂平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.
