课下层级训练(六十二)离散型随机变量的均值与方差、正态分布[A级基础强化训练]1．已知X的分布列X－101P则在下列式子中①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】C[由E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，知①正确；由D(X)＝2×＋2×＋2×＝，知②不正确；由分布列知③正确．]2．(2018·山东临沂期末)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ0.5，所以p＝0.6.]4．(2019·福建厦门模拟)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，假定甲厂的产品都符合相应的执行标准．已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)＝6，则a，b的值为____________，____________．【答案】0．30.2[因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由解得]5．(2019·山东济南模拟)在某项测量中，测量结果ζ服从正态分布N(0，σ2)，若ζ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则ζ在(0,1)内取值的概率为____________．【答案】0．4[ ζ服从正态分布N(0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x＝0. P(ζ＜－1)＝0.1，∴P(ζ＞1)＝0.1，∴ζ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4.]6．(2019·东北三校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是____________．【答案】[根据题意ξ＝0,1,2，而P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝．所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.]7．从某校的一次学科知识竞赛成绩(百分制)中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：成绩分组[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数3101215622(1)求这50名同学竞赛成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)根据频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N(μ，196)，其中μ近似为抽取的50名同学竞赛成绩的平均数x．①利用该正态分布，求P(Z>74)；②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求X的数学期望．【答案】解(1)这50名同学竞赛成绩的平均数x＝35×＋45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝60．(2)①由(1)可知，Z～N(60,142)，故P(Z>74)＝＝0.1587．②由①知，某位同学参加此次学科知识竞赛的成绩超过74分的概率为0.1587，依题意可知，X～B(20,0.1587)，所以数学期望E(X)＝20×0.1587＝3.174．8．(2019·山东青岛模拟)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4；蓝球3个，编号分别为2,4,6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解(1)设A＝“取出的3个球中含有编号为2的球”，则P(A)＝＝＝＝．(2)由题意得，ξ可能取的值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝．所以ξ的分布列为ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．...
