等差数列性质及其应用等差数列的性质是等差数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申，应用等差数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视，高考中也一直重点考查这部分内容。一、等差数列的性质归纳1.首尾项性质：设数列，若是等差数列，则；2.中项及性质：设成等差数列，则A称的等差中项，且；3.设为正整数，且，若是等差数列，则；4.顺次n项和性质若是公差为d的等差数列，则组面公关工业区的等差数列；（注：是求和符号。）5.若是公差为d的等差数列。（1）若n为奇数，则且（注：指中项，即，而指所有奇数项、所有偶数项的和）；（2）若n为偶数，则。二、等差数列的性质应用例1在等差数列中，，，求公差d。解析：由得，即。得或或。评析：本题可选用等差数列通项公式列出差的方程解决，但利用性质就更为简单方便。例2已知成等差数列，求证：也成等差数列。解析：因为成等差数列，所以，所以。又用心爱心专心所以即成等差数列。评析：（1）解决此类问题常用两个途径：一是回归定义，二是巧用性质。根据条件宜用后者。（2）证明时不能只用化基本量的方法，还要会对条件作多种变形，化成什么形式，什么时候用要根据具体题目而定。例3有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数。解析：设此四数为，所以，因为，因为与均为正整数，且，所以解得或（不合），所以所求四数为评析：巧设公差是解决等差数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差数列的问题中是主要方法。例4等差数列的前m项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为____________。解法1：将，代入，得：解得，所以。解法2：由知，要求只需求，将②-①得，用心爱心专心所以。解法3：由等差数列的前n项的公式知，是关于n的二次函数，即（A、B是常数）。将代入，得，所以。解法4：由解法1知，代入得。解法5：根据等差数列性质知：也成等差数列，从而有：所以解法6：因为，所以所以点是直线上的一串点，由三点共线，易得。解法7：令，得，得，所以，。所以，所以。评析：本题可用公式法、几何、特殊值等多种方法解决，技巧性强。而应用性质解决是其中最为简捷的。用心爱心专心
