2015学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页．满分150分,考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.定义集合，则（）A.B.C.D.2.的三内角的对边分别是，则“”是“为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.4.已知棱长为1的正方体中，下列数学命题不正确的是（）A.平面平面，且两平面的距离为B.点在线段上运动，则四面体的体积不变C.与所有12条棱都相切的球的体积为D.是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是[来源:学+科+网Z+X+X+K]5.设函数，若函数在内恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，过点向轴作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.7.已知，则（）A.B.C.D.8.如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（）A.B.C.D.非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是。10.若是函数的一条对称轴，则函数的最小正周期是；函数的最大值是。11.已知数列满足：，则；设，数列前项的和为，则。12.已知整数满足不等式，则的最大值是；的最小值是。13.已知向量满足：，向量与夹角为，则的取值范围是14.若，其中，且，则的表达式是15.从抛物线上的点向圆引两条切线分别与轴交两点，则的面积的最小值是三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分15分）如图，四边形，，。（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若，求的最小值。17.（本小题满分15分）如图（1）分别是的中点，，沿着将折起，记二面角的度数为。（Ⅰ）当时，即得到图（2）求二面角的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若，求的值。[来源:学科网][来源:学+科+网Z+X+X+K]18.（本小题满分15分）设函数，，对任意的都有。（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求证：对任意的，都有。19.（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆相切。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由。20.（本小题满分14分）已知正项数列满足：，其中为数列的前项的和。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：。2015学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案1.B2.A3.D4.D5.A6.C7.B8.B9.10.11.12.13.14.15.16.（Ⅰ）∵四点共圆，∴，即所以，故7分（Ⅱ）设，则∴当时取到。15分17.（Ⅰ）∵平面平面，且，∴平面过点向作垂线交延长线于，连接，则为二面角的平面角设，，7分（Ⅱ）过点向作垂线，垂足为，如果，则根据三垂线定理有，因为正三角形，故，则，而故15分18.（Ⅰ）∵∴而，故当时，取到最大值7分（Ⅱ）∵令∵，故对任意都有因此，对任意都有15分21.19.（Ⅰ）∵,又焦点与短轴的两顶点的连线与圆相切。∴，即故所以椭圆方程为6分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，则若存在定点满足条件，则有如果要上式为定值，则必须有验证当直线斜率不存在时，也符合。故存在点满足9分20.（Ⅰ）∵∴两式相减得则两式相减得所以4分（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，∵∴即令，累加后再加得9分又∵而令，累加得∴14分03（Ⅰ）∴（Ⅱ）即不等式在区间上恒成立令则04（Ⅰ）令①令②①-②除以2得令，所以（Ⅱ）基本事件数为，而使两直线垂直的数对有三种情况故所求的概率为
